Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 15 стр.

                                            15


                 2 3 4        1 17 − 7      2 0 5
              а) 5 − 2 1 , б) − 1 13 1 , в) 1 3 16 .
                 1 2 3        1 7    1      0 − 1 10
     5. Один способ вычисления обратной матрицы. Если для квадратной
                                                           −1
матрицы A существует обратная матрица A , то справедливо равенство
 AA−1 = E , где E – единичная матрица. Переходя в этом равенстве к определите-
                                                                    −1
лям (и учитывая свойство 9 определителей), имеем | A | ⋅ | A |=| E | , или
| A | ⋅ | A−1 |= 1. Отсюда заключаем, что | A |≠ 0 (в противном случае левая часть
последнего равенства равнялась бы нулю). Этим доказано, что если | A |= 0 , то
для матрицы A не существует обратной. Другими словами, условие | A |≠ 0 явля-
ется необходимым условием существования обратной матрицы. Оказывается, это
условие является и достаточным.
      Определение. Квадратная матрица A называется невырожденной, если ее
определитель не равен нулю ( | A |≠ 0 ). В противном случае матрица A называ-
ется вырожденной ( | A |= 0 ).
      Пусть матрица A имеет вид
                               ⎛ a11      a12     ...     a1n ⎞
                               ⎜                                ⎟
                               ⎜a         a 22    ...     a2n ⎟
                           A = ⎜ 21                               .
                                  ...      ...    ...      ... ⎟
                               ⎜⎜                               ⎟
                                ⎝ a n1    an 2    ...     a nn ⎟⎠
     Теорема. Если A – невырожденная матрица, то для нее существует об-
                   −1
ратная матрица A , которая вычисляется по формуле
                                         ⎛ A11     A21       ...      An1 ⎞
                                         ⎜                                 ⎟
                                    1    ⎜A        A22       ...      An 2 ⎟
                         A −1   =      = ⎜ 12                                ,   (5)
                                  | A|      ...     ...      ...      ... ⎟
                                         ⎜⎜                                ⎟
                                          ⎝ A1n    A2 n      ...      Ann ⎟⎠
где Aij – алгебраическое дополнение для элемента aij матрицы A .
                          (Без доказательства)
     Замечание. Обратим внимание на расположение чисел Aij в правой части
формулы (5): число Aij расположено не в i -й строке и j -м столбце, а наоборот, в
j -й строке и i -м столбце. Таким образом, матрица, стоящая в правой части (5),
является транспонированной матрицей алгебраических дополнений элементов
матрицы A .
      Упражнение. Найти обратные для следующих матриц и проверить резуль-
тат: