Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 13 стр.

                                          13


     Упражнение. В качестве примеров применения общей формулы (4) рас-
смотрите формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.
     3. Свойства определителей. Сформулируем без доказательства ряд
свойств, которыми обладает произвольный определитель n -го порядка.
     1) Свойство равноправности строк и столбцов. При транспонировании ве-
                                           T
личина определителя сохраняется, т.е. A         =| A | .
      Это свойство означает полную равноправность строк и столбцов и позволя-
ет нам все последующие свойства формулировать лишь для строк и быть уверен-
ными в справедливости их и для столбцов.
      2) При перестановке местами 2-х строк определитель сохраняет свою абсо-
лютную величину, но меняет знак на противоположный.
      3) Линейное свойство определителя. Если все элементы i -ой строки опре-
делителя n -го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых
                         aij = λ aij′ + μ aij′′ ( j = 1,2,..., n) ,
то исходный определитель можно представить в виде суммы двух определителей,
у которых элементами i -й строки являются соответственно aij′ и aij′′
( j = 1,2,..., n) , а все остальные строки – такие же, как у исходного определителя.
При этом определители умножаются на       λ и μ соответственно:
            a11         ...     a1n         a11 ... a1n     a11     ... a1n
            ...         ...      ...        ... ... ...     ...     ... ...
       λai′1 + μai′′1                ′′ = λ ai′1 ... ain
                              ′ + μain
                        ... λain                      ′ + μ ai′′1        ′′ .
                                                                    ... ain
            ...         ...      ...        ... ... ...     ...     ...   ...
            an1         ...     ann            an1 ... ann
                                                        an1 ... ann
Конечно линейное свойство справедливо и для случая, когда i -я строка является
линейной комбинацией не двух, а нескольких строк. На этот случай (любого ко-
нечного числа слагаемых) сформулированное свойство обобщается индукцией по
числу слагаемых.
      Приведенные три свойства являются основными свойствами определителя.
Все следующие свойства являются логическими следствиями трех основных
свойств.
      4) Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.
      В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны,
определитель Δ не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 изменит
свой знак на противоположный. Таким образом, Δ = − Δ , т.е. 2Δ = 0 или Δ = 0 .
      5) Умножение всех элементов некоторой строки определителя на число λ
равносильно умножению определителя на это число λ .
      Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки опре-
делителя можно вынести за знак этого определителя. Это свойство вытекает из
свойства 3 при μ = 0 .