Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 10 стр.

                                                   10


2) Сложение матриц. Складывать можно только матрицы с одинаковым числом
   строк и столбцов, т.е. матрицы одинаковых размеров. Суммой матриц
       ( )            ( )                                          ( )
   A = aij и B = bij называется матрица C = cij , элементы которой равны
  суммам соответствующих элементов матриц A и B , т.е. cij = aij + bij для лю-
   бых индексов i , j .
3) Умножение матриц. Произведение матрицы A на матрицу B (обозначается
   AB ) определено только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно
   числу строк матрицы B . В результате умножения получим матрицу C = AB ,
   у которой столько же строк, сколько их в матрице A , и столько же столбцов,
   сколько их в матрице B . Для удобства запоминания запишем это кратко:
                                             AB=C
                                             1
                                             4243
                                         ( m× n )( n× k ) = m× k
               ( )
  Если A = aij , B = bij    ( )и         C = AB = ( cij ), то элементы cij определяются
  следующим образом:
                                                                     n
                     cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ainbnj =      ∑a
                                                                    p =1
                                                                           ip b pj   ,   (3)

  где i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., k .
     Это правило можно сформулировать и словесно: элемент cij , стоящий на
пересечении i -й строки и j -го столбца матрицы C = AB , равен сумме попарных
произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы A и j -го столбца
матрицы B . Другими словами, элемент cij является результатом скалярного про-
изведения i -й вектор-строки и j -го вектор-столбца.
     В качестве примера применения указанного правила приведем формулу пе-
ремножения квадратных матриц 2-го порядка:
          ⎛ a11 a12 ⎞⎛ b11 b12 ⎞ ⎛ a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 ⎞
          ⎜⎜          ⎟⎟⎜⎜       ⎟⎟ = ⎜⎜                                 ⎟⎟ .
             a
           ⎝ 21  a 22 ⎠⎝ 21b b           a
                              22 ⎠ ⎝ 21 11 b + a   b
                                                 22 21 a   b
                                                         21 12 + a   b
                                                                   22 22 ⎠
     Заметим, что оба произведения AB и BA можно определить лишь в том
случае, когда число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B , а
число строк матрицы A совпадает с числом столбцов матрицы B . А именно,
матрица A имеет размеры m × n , а B – размеры n × m . При этом, вообще говоря,
AB ≠ BA (проверьте на примере!).
      Из формулы (3) вытекают следующие свойства умножения матриц:
1) ( AB )C = A( BC ) (ассоциативность умножения);
2) ( A + B )C = AC + BC или
   A( B + C ) = AB + AC (дистрибутивность умножения относительно сложения).
      4. Обратная матрица. Среди квадратных матриц одного и того же порядка
(например, порядка n , т.е. размеров n × n ) важную роль играет матрица вида