Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 7 стр.

                                           7


      3. Типы отображений.
      Определение. Отображение f : X → Y называется сюръективным (или
отображением «на»), если каждый элемент из Y имеет, по крайней мере, один
прообраз, т.е. f ( X ) = Y .
      Примерами сюръективных отображений f : R → [ −1; 1] являются функции
y = sin x , y = cos x .
      Определение. Отображение f : X → Y называется инъективным (или
вложением), если из x1 ≠ x2 следует f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) , т.е. каждый образ f (x ) об-
ладает ровно одним прообразом x .
      Примерами инъективных отображений f : D (⊂ R ) → R могут служить
                                           x
монотонные функции y = log 2 x , y = 3 , y = x и т.д.
      Определение. Отображение f : X → Y называется биективным, если оно
одновременно и инъективно и сюръективно.
      4. Обратимость отображений. Пусть f : X → Y . Рассмотрим уравнение,
порожденное отображением f :
                                           f ( z) = y ,                    (1)
где z (∈ X ) – неизвестное, y (∈ Y ) – параметр.
      Ясно, что если f инъективно, но не сюръективно, то существуют такие
значения параметра, при которых уравнение (1) не имеет решений, а для тех зна-
чений параметра, при которых у уравнения есть решения, это решение для каждо-
го значения параметра единственно.
      Если f сюръективное отображение, но не инъективное, то уравнение (1)
имеет решения при любом значении параметра, и существует хотя бы одно такое
значение параметра y , при котором уравнение (1) имеет более одного решения.
      В случае, когда f – биективное отображение, уравнение (1) имеет при ка-
ждом значении параметра единственное решение. В этом случае отображение f
                                    −1
определяет другое отображение f          : Y → X , которое каждому элементу y ∈ Y
                                                                               −1
ставит в соответствие решение уравнения (1). Это решение обозначается f             ( y) .
                −1
Отображение f    : Y → X называется обратным для отображения f .
                                  −1                     −1
      Нетрудно убедиться, что f ( f ( x)) = x и f ( f ( y )) = y .
      Определение. Отображение f : X → Y называется обратимым, если суще-
                     −1
ствует отображение f : Y → X такое, что
                          ( f −1 o f )( x) = x , ∀x ∈ X ,
                           ( f o f −1 )( y ) = y , ∀y ∈ Y .
                        −1
При этом отображение f называется обратным к f .