Математический анализ. Саакян Г.Р. - 3 стр.

                                                                                          3

              ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЕ ПРЕДЕЛ
       Определение. Функция f : N → R , областью определения которой являет-
ся натуральный ряд, а значения функции принадлежат множеству R веществен-
ных чисел, называется числовой последовательностью ( ⇔ последовательно-
стью).
       Значение y n = f (n) функции y = f (x) , определяющей последовательность
в точке n ∈ N , называют n -м (или общим) членом последовательности. Последо-
вательность y1 , y 2 ,..., y n ,... кратко обозначают символом { y n } .
       Примеры (числовых последовательностей):
1) 1, 2, 3,... или {n}n∈N ;
      1 2            ⎧ n − 1⎫
2) 0, , ,... или ⎨            ⎬ ;
       2 3           ⎩ n ⎭ n∈N
3) 1, − 1, 1, − 1,... или {(−1) n−1}n∈N ;
   1 1         1
4) , , ..., ,...
   2 3         n

       Определение. Последовательность {xn } называется ограниченной сверху
(снизу), если ∃ c ∈ R такое, что xn ≤ c ( xn ≥ c ) для ∀ n ∈ N . Если последова-
тельность {xn } является одновременно ограниченной сверху и снизу, то она на-
зывается ограниченной.
        Естественным образом определяется понятие неограниченной последова-
тельности.
        Последовательность           {xn }    называется         возрастающей,         если
 x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ ... , и убывающей, если x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn ≥ ... . Последовательность
{xn } называется монотонной, если она либо возрастающая, либо убывающая.
        В рассмотренном выше примере последовательность 1) является ограни-
ченной снизу и неограниченной сверху, а остальные последовательности ограни-
чены. Все последовательности, кроме 3), являются монотонными; при этом 1) и
2) – возрастающие, а 4) – убывающая последовательность.
        Определение. Число a называется пределом числовой последовательности
{xn } , если для ∀ ε > 0 ∃ N = N (ε ) такой, что при всех n > N выполняется не-
равенство | xn − a |< ε .
      Числовая последовательность {xn } называется сходящейся, если она имеет
предел, и расходящейся – в противном случае.
      Для любого вещественного числа a и положительного ε интервал
(a − ε , a + ε ) = {x : | x − a |< ε } называется ε -окрестностью числа a .
      Непосредственно из определений предела последовательности и ε -
окрестности числа a вытекает следующий важный факт. Число a является пре-
делом последовательности {xn } , если, какой бы ни была ε -окрестность числа a ,
все элементы последовательности {xn } , начиная с некоторого номера. Попадут в