Математический анализ. Саакян Г.Р. - 4 стр.

                                                                                             4

эту окрестность (так что вне ее может остаться лишь конечное число этих эле-
ментов).
      Тот факт, что число a является пределом последовательности {xn } , обо-
значают:
                       lim xn = a или x n → a при n → ∞ .
                           n →∞
     Теорема 1 (необходимое условие существования предела). Если последова-
тельность имеет предел, то она ограничена.
Δ Пусть lim xn = a . Возьмем ε = 1 и найдем N1 такое, что
           n →∞

                         | xn − a |< 1 ⇔        a − 1 < xn < a + 1
при любом n > N1 .
      Рассмотрим конечное множество чисел {| a − 1 |, | a + 1 |, | x1 |, | x2 |,..., | x N1 |}
(среди них могут быть и одинаковые). Пусть
                  M = max{| a − 1 |, | a + 1 |, | x1 |, | x2 |,..., | x N1 |} .
Ясно, что из неравенства a − 1 < xn < a + 1 (верного при всех n > N1 ) и выбора
числа M следует, что для всех n выполнено неравенство | xn | ≤ M , которое и
означает ограниченность последовательности {xn } . ▲
      Замечание. Условие ограниченности последовательности не является дос-
таточным для существования предела, так как последовательность {(−1) n } явля-
ется ограниченной, но предела не имеет.
      Оказывается, что монотонность и ограниченность достаточны для сущест-
вования предела последовательности.
      Теорема 2. Монотонно возрастающая (убывающая) и ограниченная сверху
(снизу) последовательность имеет предел.
                            (Без доказательства)
      Применение этой теоремы достаточно широко. Проиллюстрируем ее.




                                  Рис. 1.
      Рассмотрим окружность и впишем в нее квадрат с периметром P1 . Впишем
в эту окружность правильный восьмиугольник с периметром P2 , затем правиль-
ный 16-угольник с периметром P3 , и т.д. (рис. 1).