Математический анализ. Саакян Г.Р. - 5 стр.

                                                                                                                 5

     У нас возникла возрастающая последовательность {Pn } . Эта последова-
тельность ограничена сверху, например, периметром квадрата, описанного около
этой окружности. Значит, последовательность {Pn } имеет предел. Длиной ок-
ружности C и называют предел этой последовательности, т.е.
                                                    def
                                                 C = lim Pn .
                                                          n→∞
     Теорема 3 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность {xn }
имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал
такой номер N , что для всех n, m > N выполнялось неравенство
                                | xn − xm |< ε .
                            (Без доказательства)
     Этот критерий, конечно, не дает способа нахождения предела в случае его
существования.
     Пример. Покажем с помощью определения предела, что
                                      n +1
                                            = 1. lim
                                 n→∞ n

Δ     Зафиксируем произвольное ε > 0 и рассмотрим неравенство
                                    n +1
                                          −1 < ε ⇔                                                             (1)
                                      n
                      n +1− n             1           1
                ⇔             <ε ⇔           <ε ⇔       <ε ⇔
                         n                n           n
                                             1
                                   ⇔ n> .                                                                      (2)
                                                                ε
                       ⎡1⎤
      Положим N = ⎢ ⎥ + 1.1 Ясно, что все n > N являются решениями неравен-
                       ⎣ε ⎦
ства (2), а значит, и исходного неравенства (1). ▲
      Вычисление предела с помощью определения довольно «хлопотное» дело.
Обычно для вычисления пределов числовых последовательностей используют
свойства пределов, что существенно облегчает задачу.
      Мы не будем рассматривать свойства пределов числовых последовательно-
стей, а сразу обратимся к общему понятию – предела функции.
                 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
      В этом разделе мы перенесем понятие предела числовой последовательно-
сти на числовые функции. При этом несмотря на внешние различия в исходных
определениях почти все утверждения, справедливые для функций будут справед-
ливы и для числовых последовательностей.



1
    Символом   [a ] обозначают целую часть числа a , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее числа a .