Математический анализ. Саакян Г.Р. - 7 стр.

                                                                                                 7

необходимо и достаточно, чтобы для любой числовой последовательности {xn }
такой, что lim xn = a , числовая последовательность { f ( xn )} имела предел
              n→∞

                                          lim f ( xn ) = b .
                                         n→∞

                             (Без доказательства)
      Это необходимое и достаточное условие существования предела иногда
принимают в качестве определения предела функции в точке.
      3. Основные теоремы о пределах функций.
      Теорема 5 (единственность предела). Функция не может иметь в данной
точке два разных предела.
      Замечание. Из этой теоремы следует, что для заданной функции в заданной
точке либо нет предела, либо существует единственное число, являющееся пре-
делом данной функции в данной точке.
Δ Доказательство проведем рассуждением «от противного».
      Предположим, что функция f в точке a имеет два разных предела – числа
b и c, b ≠ c:
                           b = lim f ( x) ≠ lim f ( x) = c .
                                      x→a            x→a

                          1
        Для числа ε =        | b − c |> 0 подбираем (по определению предела) числа
                          4
δ 1 > 0 и δ 2 > 0 такие, что:
                         из 0 <| x − a |< δ 1 следует | f ( x) − b |< ε
                                               и
                         из 0 <| x − a |< δ 2 следует | f ( x) − c |< ε .
Выберем точку x0 так, чтобы выполнялись неравенства 0 <| x0 − a |< δ 1 и
0 <| x0 − a |< δ 2 (см. рис. 2).

                                       δ1                   δ1
                                                 a
                                                           x0
                                 δ2                               δ2
                                              Рис. 2.
Тогда
                              | f ( x0 ) − b |< ε и | f ( x0 ) − c |< ε
и, следовательно,
                                                                                       1
| b − c | = | b − c − f ( x0 ) + f ( x0 ) | ≤ | f ( x0 ) − b | + | f ( x0 ) − c |< 2ε = | b − c | .
                                                                                       2
                                             1                          1
        Таким образом, | b − c | < | b − c | , т.е. 1 < . Получено ложное неравенство.
                                              2                         2
Это показывает, что сделанное предположение: «функция f в точке a имеет два
разных предела», неверно. Теорема доказана. ▲