Математический анализ. Саакян Г.Р. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

8
Теорема 6 (необходимое условие существования предела). Если функция
)(
x
f
имеет предел при
a
x
→
, то она ограничена
2
в некоторой окрестности
точки
a
.
Δ
Пусть
∃ bxf
ax
=
→
)(lim
. Тогда, по определению, для
0>
∀
ε
0
>∃
δ
такое, что
при
)(aUx
o
δ
∈
выполнено
ε
<
−
|)(| b
x
f
⇒
ε
<− |||)(| b
x
f
(так как
||||||
BABA −≤−
)
⇒
ε
+< |||)(| b
x
f
. Если функция
f
определена в точке
a
, то
положим |})(|,|{|max
a
f
b
M
ε
+
= , откуда
)(|)(|
aU
x
M
x
f
∈
∀
≤ . ▲
Теорема 7
(об арифметических операциях с пределами функций). Если
функции
)(
x
f
и )(
x
g
имеют предел при a
x
→ , то справедливы равенства
()
)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax →→→
±
=
± ,
)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax →→→
=
⋅ ,
а если
0)(lim
≠
→
xg
ax
, то и равенство
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
→
→
→
= .
(Без доказательства)
Сформулируем две теоремы о переходе к пределу в неравенствах.
Теорема 8
. Пусть в некоторой окрестности
)(aU
o
имеет место неравен-
ство
)()(
x
g
x
f
≤ . Тогда если существуют пределы )(lim xf
ax→
и )(lim xg
ax→
, то
)(lim xf
ax→
≤
)(lim xg
ax→
.
(Без доказательства)
Теорема 9. Пусть в некоторой окрестности
)(aU
o
для функций
)(
x
f
,
)(
x
g
,
)(
x
h
имеют место неравенства
)()()(
x
h
x
g
x
f
≤
≤
. Если существуют пределы
)(lim xf
ax→
=bxh
ax
=
→
)(lim , то существует предел
bxg
ax
=
→
)(lim
.
(Без доказательства)
Теорема 10 (о замене переменной в пределах). Пусть выполнены три усло-
вия:
1)
существует предел
bxf
ax
=
→
)(lim
;
2)
существует предел ctg
bt
=
→
)(lim ;
2
Функция )(
x
f
называется ограниченной на множестве
D
, если существует такое число
M
, что для
D
x
∈∀ выполняется неравенство
M
x
f
≤|)(| . 
                                                                                                                  8

       Теорема 6 (необходимое условие существования предела). Если функция
f ( x) имеет предел при x → a , то она ограничена2 в некоторой окрестности
точки a .
Δ Пусть ∃ lim f ( x) = b . Тогда, по определению, для ∀ ε > 0 ∃δ > 0 такое, что
                        x→a
                 o
при x ∈U δ (a) выполнено | f ( x) − b | < ε                    ⇒ | f ( x) | − | b | < ε (так как
| A | − | B | ≤ | A − B | ) ⇒ | f ( x) | < | b | +ε . Если функция f определена в точке a , то
положим M = max {| b | +ε , | f (a) |} , откуда
                               | f ( x) | ≤ M ∀ x ∈U (a ) . ▲
     Теорема 7 (об арифметических операциях с пределами функций). Если
функции f ( x) и g ( x) имеют предел при x → a , то справедливы равенства
                         lim ( f ( x) ± g ( x) ) = lim f ( x) ± lim g ( x) ,
                                 x→a                        x→a            x→a

                                   lim f ( x) ⋅ g ( x) = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) ,
                                   x→a                      x→a          x→a
а если lim g ( x) ≠ 0 , то и равенство
          x→a

                                                              lim f ( x)
                                                     f ( x) x → a
                                               lim          =            .
                                               x → a g ( x)   lim g ( x)
                                                             x→a
                             (Без доказательства)
        Сформулируем две теоремы о переходе к пределу в неравенствах.
                                                                                 o
     Теорема 8. Пусть в некоторой окрестности U (a ) имеет место неравен-
ство f ( x) ≤ g ( x) . Тогда если существуют пределы lim f ( x) и lim g ( x) , то
                                                                             x→a          x→a

                                               lim f ( x) ≤ lim g ( x) .
                                               x→a            x→a
                                             (Без доказательства)
                                                                             o
       Теорема 9. Пусть в некоторой окрестности U (a ) для функций f ( x) , g ( x) ,
h( x) имеют место неравенства f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) . Если существуют пределы
lim f ( x) = lim h( x) = b , то существует предел
x→a              x→a

                                                     lim g ( x) = b .
                                                     x→a
                               (Без доказательства)
        Теорема 10 (о замене переменной в пределах). Пусть выполнены три усло-
вия:
1) существует предел lim f ( x) = b ;
                                  x→a

2) существует предел lim g (t ) = c ;
                                  t→ b



2
    Функция    f ( x)   называется ограниченной на множестве        D,   если существует такое число   M   , что для
∀x∈D          выполняется неравенство    | f ( x) | ≤ M .

Страницы