Математический анализ. Саакян Г.Р. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

10
Δ
Пусть
x
– величина угла в радианах, и пусть сначала
)
2
;0(
π
∈x
. Имеем (см.
рис. 3) следующие соотношения для площадей:
OBCOACсекOAC
SSS
ΔΔ
<
<
.
.
Рис. 3.
Вычисляя соответствующие площади (и учитывая при этом, что
1== O
C
OA ), получим неравенства
xtgxx
2
1
2
1
sin
2
1
<<
. (3)
Из того, что
)
2
;0(
π
∈x
, следует
0sin >
x
. Умножая все части неравенств (3) на
xsin
2
, получаем:
xx
x
cos
1
sin
1 <<
⇔
1
sin
cos <<
x
x
x .
Так как функции
x
cos
,
x
xsin
и
1
– четные, полученные неравенства выполняют-
ся не только для
)
2
;0(
π
∈∀x
, но и для
)0;
2
(
π
−∈∀x
. Но
)0()
2
;0()0;
2
(
o
U=∪−
π
π
есть проколотая окрестность точки 0. А так как
11lim
0
=
→x
и
1coslim
0
=
→
x
x
,
то в силу теоремы 9 справедливо соотношение
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
. ▲
Замечание
. При вычислении предела x
x
coslim
0→
использовалась непрерыв-
ность функции
x
cos
в точке
0=
x
.Понятие непрерывности функции будет рас-
смотрено позднее.
Пример
. Вычислить
x
x
b
x
3sin
lim
0→
= .
x
y
O
B
C
A
1
x
                                                                                     10

                                                                         π
Δ  Пусть x – величина угла в радианах, и пусть сначала x ∈ (0 ; ) . Имеем (см.
                                                               2
рис. 3) следующие соотношения для площадей:
                         S Δ OAC < S сек.OAC < S Δ OBC .

                                        y
                                        1
                                                             B
                                                  A

                                             x
                                        O                    C   x




                                      Рис. 3.
     Вычисляя соответствующие площади (и учитывая при этом, что
OA = OC = 1 ), получим неравенства
                              1         1     1
                                sin x < x < tg x .          (3)
                              2         2     2
                    π
Из того, что x ∈ (0 ; ) , следует sin x > 0 . Умножая все части неравенств (3) на
                     2
  2
      , получаем:
sin x
                              x      1              sin x
                       1<         <       ⇔ cos x <       < 1.
                            sin x cos x               x
                          sin x
Так как функции cos x ,          и 1 – четные, полученные неравенства выполняют-
                            x
                           π                             π           π       π   o
ся не только для ∀ x ∈ (0 ; ) , но и для ∀ x ∈ (− ; 0) . Но (− ; 0) ∪ (0 ; ) = U (0)
                           2                      2           2           2
есть проколотая окрестность точки 0 . А так как
                             lim 1 = 1 и lim cos x = 1 ,
                               x →0         x→0
то в силу теоремы 9 справедливо соотношение
                                    sin x
                                lim       = 1. ▲
                                x→0 x

      Замечание. При вычислении предела lim cos x использовалась непрерыв-
                                                  x →0

ность функции cos x в точке x = 0 .Понятие непрерывности функции будет рас-
смотрено позднее.
                                 sin 3x
      Пример. Вычислить b = lim         .
                            x →0    x

Страницы