Математический анализ. Саакян Г.Р. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

12
e
x
x
a
a
x
log
)1(log
lim
0
=
+
→
, в частности, 1
)1ln(
lim
0
=
+
→
x
x
x
,
)0(ln
1
lim
0
>=
−
→
aa
x
a
x
x
, в частности,
1
1
lim
0
=
−
→
x
e
x
x
,
μ
μ
=
−+
→
x
x
x
1)1(
lim
0
.
6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Определение
. Функция
)(
x
f
называется бесконечно малой при
a
x
→
( Ra ∈ или )
∞
±
=a , если 0)(lim =
→
xf
ax
.
В дальнейшем, для краткости, вместо слов «бесконечно малые функции»
будем писать просто б.м.ф.
Основные свойства бесконечно малых функций
1)
bxf
ax
=
→
)(lim
⇔
функция b
x
f
−)( является б.м.ф. при a
x
→ .
2)
Сумма, разность и произведение двух б.м.ф. при
a
x
→
являются б.м.ф. при
a
x
→
.
3)
Если функция )(
x
f
является б.м.ф. при a
x
→ , а функция )(
x
g
ограничена в
некоторой окрестности точки a , то произведение )()(
x
g
x
f
является б.м.ф.
при a
x
→ .
Определение
. Функция
)(
x
f
называется бесконечно большой (б.б.ф.) при
a
x
→
, если для
00 >∃>
∀
δ
K
такое, что из неравенств
δ
<−
<
||0 a
x
следует не-
равенство
K
x
f
>|)(|
. Если при этом функция
)(
x
f
сохраняет знак
+
или
−
, то
говорят, что она имеет предел
∞+
или
∞
−
; при этом пишут
+∞=
→
)(lim xf
ax
или
−
∞
=
→
)(lim xf
ax
.
Основные свойства бесконечно больших функций
1)
Пусть
)(
x
f
– б.б.ф. при
a
x
→
, а
)(
x
g
– такая функция, что
0|)(| >>
x
g
(от-
делена от нуля) в некоторой окрестности точки
a
. Тогда )()(
x
g
x
f
– б.б.ф. при
a
x
→ .
2)
Пусть
)(
x
f
– б.б.ф. при
a
x
→
, а
)(
x
g
– функция, ограниченная в некоторой
окрестности точки
a
. Тогда
)()(
x
g
x
f
+
является б.б.ф. при
a
x
→
.
3)
(Связь между б.б.ф. и б.м.ф.) Если
)(
x
f
– б.б.ф. при
a
x
→
, то
)(
1
xf
– б.м.ф.
при
a
x
→
. Обратно, если
)(
x
f
– б.м.ф. при
a
x
→
и
0)( ≠
x
f
для
)(aUx
o
∈∀
,
то функция
)(
1
xf
является б.б.ф. при a
x
→ .
7. Сравнение бесконечно малых. Здесь мы будем заниматься только беско-
нечно малыми функциями. Имея ввиду связь между бесконечно малыми и беско-
нечно большими функциями, этим можно ограничиться.
Из свойства 1) б.м.ф. следует: свойство функции
)(
x
f
иметь предел
b
при
a
x
→ равносильно представимости ее в виде )()(
x
b
x
f
ε
+
=
, где )(
x
ε
– б.м.ф. 
                                                                                        12

      log a (1 + x)                               ln(1 + x)
lim                  = log a e , в частности, lim           = 1,
 x →0        x                                x→0     x
      ax −1                                        ex −1
lim            = ln a (a > 0) , в частности, lim          = 1,
 x→0     x                                     x→0   x
      (1 + x) μ − 1
lim                  = μ.
 x→0         x
         6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
         Определение. Функция f (x) называется бесконечно малой при x → a
( a ∈ R или a = ± ∞) , если lim f ( x) = 0 .
                            x→a
      В дальнейшем, для краткости, вместо слов «бесконечно малые функции»
будем писать просто б.м.ф.
                     Основные свойства бесконечно малых функций
1) lim f ( x) = b ⇔ функция f ( x) − b является б.м.ф. при x → a .
   x→a

2) Сумма, разность и произведение двух б.м.ф. при x → a являются б.м.ф. при
   x→a .
3) Если функция f (x) является б.м.ф. при x → a , а функция g (x) ограничена в
   некоторой окрестности точки a , то произведение f ( x) g ( x) является б.м.ф.
   при x → a .
   Определение. Функция f (x) называется бесконечно большой (б.б.ф.) при
x → a , если для ∀ K > 0 ∃ δ > 0 такое, что из неравенств 0 < | x − a | < δ следует не-
равенство | f ( x) | > K . Если при этом функция f (x) сохраняет знак + или − , то
говорят, что она имеет предел + ∞ или − ∞ ; при этом пишут
                            lim f ( x) = +∞ или lim f ( x) = −∞ .
                         x→a                     x→a
                Основные свойства бесконечно больших функций
1) Пусть f (x) – б.б.ф. при x → a , а g (x) – такая функция, что | g ( x) |> μ > 0 (от-
   делена от нуля) в некоторой окрестности точки a . Тогда f ( x) g ( x) – б.б.ф. при
    x→a .
2) Пусть f (x) – б.б.ф. при x → a , а g (x) – функция, ограниченная в некоторой
   окрестности точки a . Тогда f ( x) + g ( x) является б.б.ф. при x → a .
3) (Связь между б.б.ф. и б.м.ф.) Если f (x) – б.б.ф. при x → a , то 1             – б.м.ф.
                                                                           f ( x)
                                                                                    o
   при x → a . Обратно, если f (x) – б.м.ф. при x → a и f ( x) ≠ 0 для ∀ x ∈U (a ) ,
   то функция 1         является б.б.ф. при x → a .
                 f ( x)
   7. Сравнение бесконечно малых. Здесь мы будем заниматься только беско-
нечно малыми функциями. Имея ввиду связь между бесконечно малыми и беско-
нечно большими функциями, этим можно ограничиться.
      Из свойства 1) б.м.ф. следует: свойство функции f (x) иметь предел b при
x → a равносильно представимости ее в виде f ( x) = b + ε ( x) , где ε (x) – б.м.ф.

Страницы