ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
14
При этом пишут ))(()(
x
g
O
x
f
=
при a
x
→ (читается: )(
x
f
равна «О» большое от
)(
x
g
).
Заметим, что если
0
)(
)(
lim ≠=
→
C
xg
xf
ax
, то ))(()(
x
g
O
x
f
=
при a
x
→ .
Понятие )(
⋅
O является более «слабым», чем )(
⋅
o . Действительно, если
))(()(
x
g
o
x
f
= при a
x
→ , то ))(()(
x
g
O
x
f
= .
Теорема 12
. Пусть )(
x
f
и )(
x
g
– две эквивалентные б.м.ф. при a
x
→ . То-
гда их разность
)()(
x
g
x
f
−
является б.м.ф. более высокого порядка при
a
x
→
,
т.е.
))(()()(
x
f
o
x
g
x
f
=− и ))(()()(
x
g
o
x
g
x
f
=
−
.
Δ
011
)(
)(
lim1
)(
)(
1lim
)(
)()(
lim =−=−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
−
→→→
xf
xg
xf
xg
xf
xgxf
axaxax
. Второе соотношение
доказывается аналогично.
▲
Из двух эквивалентных бесконечно малых одна может быть очень простой,
а другая – сложной. В некоторых случаях при вычислении пределов можно заме-
нять одну б.м.ф. другой, ей эквивалентной. При этом вычисления упрощаются.
Точное утверждение сформулируем в виде теоремы.
Теорема 13
. Пусть )(
x
α
и )(
x
β
– две эквивалентные б.м.ф. при a
x
→ , а
)(
x
f
– функция, определенная в некоторой проколотой окрестности
)(aU
o
. То-
гда
)()(lim)()(lim xfxxfx
axax
β
α
→→
=
.
Δ
)()(lim
)(
)(
lim)()(lim
)(
)(
)()(lim)()(lim xfx
x
x
xfx
x
x
xfxxfx
axaxaxaxax
β
β
α
β
β
α
βα
→→→→→
=⋅=⋅=
. ▲
Примеры
. Примеры б.м.ф. дают замечательные пределы:
)1(sin o
x
= при 0→
x
,
)1()1(log ox
a
=+
при 0→
x
,
)1(1 oa
x
=−
при 0→
x
,
)1(1)1( ox =−+
μ
при 0→
x
.
Покажем, например, первое из этих соотношений:
==
→→
x
x
xx
xx
sin
limsinlim
00
010
sin
limlim
00
=⋅=⋅
→→
x
x
x
xx
.
Из теоремы 12 и замечательных пределов (или следствий из них) получаем
(при
0→
x
):
)(1),(sin xoxexoxx
x
+=−+=
,
)(1)1(),(
2
1cos
2
2
xoxxxo
x
x +=−++=−
μ
μ
,
)(11),()1ln( xo
k
x
xxoxx
k
+=−++=+ ,
)(
x
o
x
x
tg
+
=
.
14
При этом пишут f ( x) = O ( g ( x)) при x → a (читается: f (x) равна «О» большое от
g (x) ).
f ( x)
Заметим, что если lim = C ≠ 0 , то f ( x) = O ( g ( x)) при x → a .
x → a g ( x)
Понятие O(⋅) является более «слабым», чем o(⋅) . Действительно, если
f ( x) = o( g ( x)) при x → a , то f ( x) = O ( g ( x)) .
Теорема 12. Пусть f (x) и g (x) – две эквивалентные б.м.ф. при x → a . То-
гда их разность f ( x) − g ( x) является б.м.ф. более высокого порядка при x → a ,
т.е.
f ( x) − g ( x) = o( f ( x)) и f ( x) − g ( x) = o( g ( x)) .
f ( x) − g ( x) ⎛ g ( x) ⎞ g ( x)
Δ lim = lim ⎜⎜1 − ⎟⎟ = 1 − lim = 1 − 1 = 0 . Второе соотношение
x→a f ( x) x→a
⎝ f ( x) ⎠ x → a f ( x)
доказывается аналогично. ▲
Из двух эквивалентных бесконечно малых одна может быть очень простой,
а другая – сложной. В некоторых случаях при вычислении пределов можно заме-
нять одну б.м.ф. другой, ей эквивалентной. При этом вычисления упрощаются.
Точное утверждение сформулируем в виде теоремы.
Теорема 13. Пусть α (x) и β (x) – две эквивалентные б.м.ф. при x → a , а
o
f (x) – функция, определенная в некоторой проколотой окрестности U (a) . То-
гда
lim α ( x) f ( x) = lim β ( x) f ( x) .
x→a x→a
α ( x) α ( x)
Δ lim α ( x) f ( x) = lim β ( x) f ( x) ⋅ = lim β ( x) f ( x) ⋅ lim = lim β ( x) f ( x) . ▲
x→a x→a β ( x) x → a x → a β ( x) x→a
Примеры. Примеры б.м.ф. дают замечательные пределы:
sin x = o(1) при x → 0 , log a (1 + x) = o(1) при x → 0 , a x − 1 = o(1) при x → 0 ,
(1 + x) μ − 1 = o(1) при x → 0 .
Покажем, например, первое из этих соотношений:
sin x sin x
lim sin x = lim x = lim x ⋅ lim = 0 ⋅1 = 0 .
x→0 x→0 x x→0 x→0 x
Из теоремы 12 и замечательных пределов (или следствий из них) получаем
(при x → 0 ):
sin x = x + o( x), e x − 1 = x + o( x ) ,
x2
cos x − 1 = + o( x 2 ), (1 + x) μ − 1 = μ x + o( x) ,
2
x
ln(1 + x) = x + o( x), k 1 + x − 1 = + o( x) ,
k
tg x = x + o(x) .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
