Математический анализ. Саакян Г.Р. - 15 стр.

                                                                                            15

     Из замечательных пределов (или следствий из них) получаем наиболее
употребительные эквивалентности:
                       sin x ~ x ,    ln(1 + x) ~ x ,
                                        x→0                      x→0
                                                             μ
                               x
                           e −1~ x ,                  (1 + x) − 1 ~ μ x ,
                                      x→0                        x→0
                                                tg x ~ x ,
                                                    x→0
                 n             n −1
             a n x + an −1 x          + ... + a1 x + a0 ~ a n x n при x → ∞ ( a n ≠ 0 ).
         8. Непрерывность функции. В определении предела функции при x → a
подчеркивалось, что значение a не учитывается при вычислении предела. Это
значение даже может не входить в область определения функции D( f ) ; если же
a ∈ D ( f ) , то значение b предела функции может не совпадать со значением
 f (a ) . Однако особый интерес представляет именно случай, когда a ∈ D( f ) и
 f ( x) → f (a) .
         Определение. Функция f , определенная в некоторой окрестности U (a ) ,
называется непрерывной в точке a , если
                          lim f ( x) = f (a) , т.е. lim f ( x) = f ⎛⎜ lim x ⎞⎟ .
                          x→a                       x→a              ⎝ x→a ⎠
         На языке « ε – δ » это определение выглядит так: функция f , определенная
в некоторой окрестности U (a ) , называется непрерывной в точке a , если для
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : | f ( x) − f (a ) | < ε для ∀ x : | x − a | < δ .
         Определение. Функция f называется непрерывной на множестве D ⊂ R ,
если она непрерывна в каждой точке этого множества.
         Теорема 14 (об арифметических операциях с непрерывными функциями).
Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке a , то этим же свойством обла-
                                                          f ( x)
дают функции f ( x) ± g ( x) , f ( x) ⋅ g ( x) и                   (последняя при условии, что
                                                         g ( x)
g (a ) ≠ 0 ).
Δ  Эта теорема непосредственно вытекает из теоремы об арифметических опера-
циях с пределами. ▲
       Теорема 15 (о непрерывности сложной функции). Пусть функция f (x) не-
прерывна в точке x = a , а другая функция x = g (t ) непрерывна в точке t = b , при-
чем a = g (b) . Тогда сложная функция F (t ) = f ( g (t )) непрерывна в точке t = b ,
т.е. lim F (t ) = F (b) .
     t →b

Δ  Этот результат следует из теоремы о замене переменной в пределах. ▲
     9. Непрерывность элементарных функций. Основными элементарными
функциями принято считать следующие функции: