Математический анализ. Саакян Г.Р. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

13
при a
x
→ . Функция )(
x
ε
характеризует «скорость» стремления функции )(
x
f
к
пределу b . Поэтому нужно уметь сравнивать б.м.ф.
«Скорость» стремления б.м.ф. )(
x
f
и )(
x
g
к нулю при a
x
→ можно срав-
нивать путем анализа отношения
)(
)(
xg
xf
.
Определение
. Пусть )(
x
f
и )(
x
g
– две б.м.ф. при a
x
→ и 0)( ≠
x
g
в неко-
торой окрестности
)(aU
o
. Тогда:
1)
если
0
)(
)(
lim =
→
xg
xf
ax
, то )(
x
f
называют бесконечно малой более высокого поряд-
ка, чем )(
x
g
при a
x
→ , и пишут ))(()(
x
g
o
x
f
=
при a
x
→ (читается: )(
x
f
равна «о» малое от )(
x
g
);
2)
если
0
)(
)(
lim ≠=
→
C
xg
xf
ax
, то
)(
x
f
и
)(
x
g
называют бесконечно малыми одного
порядка при a
x
→ ;
3)
если
1
)(
)(
lim =
→
xg
xf
ax
, то )(
x
f
и )(
x
g
называют эквивалентными бесконечно ма-
лыми при
a
x
→
и пишут
)(~)(
x
g
x
f
при
a
x
→
.
Комментарий к определению
. Смысл определения можно наглядно (но не-
строго) проиллюстрировать следующим образом. Если )(
x
f
– б.м.ф. более высо-
кого порядка, чем )(
x
g
, то при
x
, близких к a , значения )(
x
f
много меньше,
чем значения функции )(
x
g
. Иными словами, )(
x
f
стремится к нулю быстрее,
чем
)(
x
g
.
Следует иметь ввиду, что равенства, содержащие символ «о малое», явля-
ются условными. Например, равенство
)(
2
xox = при 0→
x
верно, но
2
)( xxo =
неверно, поскольку символ )(
x
o обозначает не какую-то конкретную функцию, а
любую функцию, являющуюся при 0→
x
бесконечно малой более высокого по-
рядка, чем
x
. Таких функций бесконечно много: в частности, любая функция
p
x
(где
1>p
) есть
)(
x
o
при
0→
x
. Таким образом, равенство
)(
2
xox =
при
0→
x
означает, что функция
2
x
принадлежит множеству бесконечно малых функций
более высокого порядка при
0→
x
, чем
x
. Поэтому «в обратную сторону» это
равенство (
2
)( xxo = ) неверно: все множество функций )(
x
o не сводится к одной
функции
2
x
.
Определение
. Б.м.ф.
)(
x
f
при
a
x
→
называется ограниченной по отноше-
нию к б.м.ф.
)(
x
g
при
a
x
→
, если существуют такие число
M
и окрестность
)(aU
o
, что
M
xg
xf
<
)(
)(
для
)(aUx
o
∈∀
. 
                                                                                  13

при x → a . Функция ε (x) характеризует «скорость» стремления функции f (x) к
пределу b . Поэтому нужно уметь сравнивать б.м.ф.
      «Скорость» стремления б.м.ф. f (x) и g (x) к нулю при x → a можно срав-
                                 f ( x)
нивать путем анализа отношения          .
                                 g ( x)
      Определение. Пусть f (x) и g (x) – две б.м.ф. при x → a и g ( x) ≠ 0 в неко-
                    o
торой окрестности U (a ) . Тогда:
               f ( x)
1) если lim           = 0 , то f (x) называют бесконечно малой более высокого поряд-
         x → a g ( x)

   ка, чем g (x) при x → a , и пишут f ( x) = o( g ( x)) при x → a (читается: f (x)
   равна «о» малое от g (x) );
               f ( x)
2) если lim           = C ≠ 0 , то f (x) и g (x) называют бесконечно малыми одного
         x → a g ( x)

   порядка при x → a ;
               f ( x)
3) если lim           = 1 , то f (x) и g (x) называют эквивалентными бесконечно ма-
         x → a g ( x)

   лыми при x → a и пишут f ( x) ~ g ( x) при x → a .
      Комментарий к определению. Смысл определения можно наглядно (но не-
строго) проиллюстрировать следующим образом. Если f (x) – б.м.ф. более высо-
кого порядка, чем g (x) , то при x , близких к a , значения f (x) много меньше,
чем значения функции g (x) . Иными словами, f (x) стремится к нулю быстрее,
чем g (x) .
      Следует иметь ввиду, что равенства, содержащие символ «о малое», явля-
ются условными. Например, равенство x 2 = o( x) при x → 0 верно, но o( x) = x 2
неверно, поскольку символ o(x) обозначает не какую-то конкретную функцию, а
любую функцию, являющуюся при x → 0 бесконечно малой более высокого по-
рядка, чем x . Таких функций бесконечно много: в частности, любая функция x p
(где p > 1 ) есть o(x) при x → 0 . Таким образом, равенство x 2 = o( x) при x → 0
означает, что функция x 2 принадлежит множеству бесконечно малых функций
более высокого порядка при x → 0 , чем x . Поэтому «в обратную сторону» это
равенство ( o( x) = x 2 ) неверно: все множество функций o(x) не сводится к одной
функции x 2 .
     Определение. Б.м.ф. f (x) при x → a называется ограниченной по отноше-
нию к б.м.ф. g (x) при x → a , если существуют такие число M и окрестность
o
U (a) , что
                             f ( x)              o
                                    < M для ∀ x ∈U (a ) .
                             g ( x)

Страницы