Математический анализ. Саакян Г.Р. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

11
Δ
Совершим замену переменной:
x
t 3
=
. Тогда
3
t
x
= и 0→t при 0→
x
. Получа-
ем
3
sin
lim3
sin3
lim
00
===
→→
t
t
t
t
b
tt
. ▲
Следствие
(к теореме 10). Если
0)(lim
=
→
x
ax
α
и
0)(
≠
x
α
в некоторой проко-
лотой окрестности точки a, то
1
)(
)(sin
lim =
→
x
x
ax
α
α
.
Для доказательства достаточно сделать замену переменной )(
x
t
α
= .
б) Второй замечательный предел
В математическом анализе доказывается (а мы примем этот результат без
доказательства), что существует предел
x
x
x
1
0
)1(lim +
→
.
Этот предел обозначают буквой
e
и называют «число е» в честь открывшего его
швейцарского (и петербургского) математика Леонарда Эйлера (1707 – 1783). Ус-
тановлено, что число это иррационально и что
...718281828,2
=
e
Формулу
ex
x
x
=+
→
1
0
)1(lim
называют вторым замечательным пределом.
Пример
.
et
x
t
t
x
x
=+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
→∞→
1
0
)1(lim
1
1lim
. Здесь использовалась подстановка
x
t
1
= . Этот предел также называют вторым замечательным пределом.
Следствие
(к теореме 10). Если 0)(lim
=
→
x
ax
α
и 0)(
≠
x
α
в некоторой проко-
лотой окрестности точки
a
, то
ex
x
ax
=+
→
)(
1
))(1(lim
α
α
.
Следующая теорема полезна при вычислении пределов, сводящихся ко
второму замечательному пределу.
Теорема 11
. Если существуют пределы )(lim xg
ax→
и 0)(lim >
→
xf
ax
, то сущест-
вует предел
()
)(
)(
lim
)(lim)(lim
xg
ax
xg
ax
ax
xfxf
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
→→
.
Пример
.
2
2
2
1
0
1
0
)21(lim)21(lim
−
−
−
→→
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=− exx
x
x
x
x
.
К замечательным пределам также относят равенства 
                                                                                                         11

                                                                              t
Δ    Совершим замену переменной: t = 3 x . Тогда x =                            и t → 0 при x → 0 . Получа-
                                                                              3
ем
                                  3 sin t         sin t
                            b = lim       = 3 lim       = 3. ▲
                             t →0    t        t →0 t

       Следствие (к теореме 10). Если lim α ( x) = 0 и α ( x) ≠ 0 в некоторой проко-
                                                      x→a

лотой окрестности точки a , то
                                      sin α ( x)
                                        lim      = 1.
                                 x → a α ( x)

      Для доказательства достаточно сделать замену переменной t = α (x) .
                        б) Второй замечательный предел
      В математическом анализе доказывается (а мы примем этот результат без
доказательства), что существует предел
                                                                  1
                                              lim (1 + x) x .
                                              x→0

Этот предел обозначают буквой e и называют «число е» в честь открывшего его
швейцарского (и петербургского) математика Леонарда Эйлера (1707 – 1783). Ус-
тановлено, что число это иррационально и что e = 2,718281828... Формулу
                                                              1
                                         lim (1 + x) x = e
                                         x→0
называют вторым замечательным пределом.
                                 x                     1
                    ⎛ 1⎞
       Пример. lim ⎜1 + ⎟ = lim(1 + t ) t = e . Здесь использовалась подстановка
               x→ ∞ ⎝  x ⎠ t →0
     1
t=     . Этот предел также называют вторым замечательным пределом.
     x
        Следствие (к теореме 10). Если lim α ( x) = 0 и α ( x) ≠ 0 в некоторой проко-
                                                      x→a
лотой окрестности точки a , то
                                                                  1
                                                              α ( x)
                                     lim (1 + α ( x))                  = e.
                                     x→a
     Следующая теорема полезна при вычислении пределов, сводящихся ко
второму замечательному пределу.
     Теорема 11. Если существуют пределы lim g ( x) и lim f ( x) > 0 , то сущест-
                                                                      x→a                     x→a
вует предел
                                                                         lim     g ( x)
                            lim ( f ( x) )            = ⎛⎜ lim f ( x) ⎞⎟ x → a
                                             g ( x)
                                                                                          .
                            x→a                          ⎝ x→a         ⎠
                                                                  −2
                             1
                                 ⎛         1
                                              ⎞
       Пример. lim (1 − 2 x) x   ⎜
                          = lim (1 − 2 x) 2 x ⎟ = e −2 .
                                         −
                x→0         x →0 ⎜            ⎟
                                 ⎝            ⎠
       К замечательным пределам также относят равенства

Страницы