Математический анализ. Саакян Г.Р. - 9 стр.

                                                                                        9
                                                        o
3) существует такая проколотая окрестность U (a) точки a , что f ( x) ≠ b для
           o
   ∀ x ∈U (a ) .
   Тогда существует lim g ( f ( x)) = lim g (t ) = c.
                         x→a              t →b
                              (Без доказательства)
      Замечание. Если условие 3) не выполняется, то нельзя сделать заключение
теоремы. Покажем это на примере. Пусть f ( x) ≡ 1 , а
                                       ⎧0 при t ≠ 1,
                              g (t ) = ⎨
                                       ⎩3 при t = 1.
Тогда
                           lim f ( x) = 1 , lim g (t ) = 0 .
                                  x→2            t →1
Сложная функция g ( f ( x)) = 3 при ∀ x ∈ R и поэтому
lim g ( f ( x)) = 3 ≠ 0 = lim g (t ) .
x→2                   t →1
      Так как предел функции можно определять как предел соответствующих
числовых последовательностей (см. теорему 4), то основные теоремы о пределах
числовых последовательностей аналогичны рассмотренным теоремам о пределах
функций.
      4. Предел функции на бесконечности.
      Определение. Число b называют пределом функции f (x) при x → + ∞ (при
x → − ∞) , если для ∀ ε > 0 ∃K > 0 такое, что из неравенства x > K ( x < − K ) сле-
дует неравенство | f ( x) − b | < ε . При этом пишут
                                            ⎛ lim f ( x) = b ⎞ .
                               lim f ( x) = b
                                            ⎜ x → −∞         ⎟
                             x → +∞         ⎝                ⎠
     Пример. Функция y = e имеет предел при x → +∞ , а именно, e − x → 0 при
                            −x

x → +∞ . Покажем это. Пусть ε > 0 – произвольно. Необходимо доказать сущест-
вование числа K > 0 такого, что | e − x |< ε при x > K . Решая неравенство | e − x |< ε ,
              1
получим x > ln . Следовательно, в качестве искомого числа K можно взять
                 ε
      1
K = ln .
       ε
      Для функций, имеющих предел на бесконечности (в бесконечно удаленной
точке) верны аналоги теорем 4 – 10.
      5. Замечательные пределы. Рассмотрим несколько пределов, которые но-
сят такое название, поскольку они широко используются при решении как теоре-
тических, так и практических задач.
                        а) Первый замечательный предел
      Так называют равенство
                                      sin x
                                  lim       = 1.
                                  x→0 x