ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
17
Теорема 17. Для того чтобы существовал
)(lim xf
ax→
необходимо и доста-
точно, чтобы существовали односторонние пределы )0( −a
f
и )0( +a
f
, и
)0( −a
f
= )0(
+
a
f
. В этом случае общее значение односторонних пределов равно
значению предела функции:
)(lim)0()0( xfafaf
ax→
=
+
=
−
.
Доказательство теоремы проведите самостоятельно.
Из теоремы 17 и определения непрерывности функции следует
Теорема 18
(необходимое и достаточное условие непрерывности функции).
Для того чтобы функция )(
x
f
, определенная в некоторой окрестности точки a
была непрерывна в этой точке необходимо и достаточно, чтобы существовали
односторонние пределы
)0( −a
f
и
)0(
+
a
f
, равные между собой и значению
функции в точке
a
: )()0()0( a
f
a
f
a
f
=
+
=− .
11. Точки разрыва функции.
Определение
. Пусть функция )(
x
f
определена и непрерывна в некоторой
проколотой окрестности
)(aU
o
. Если функция не является непрерывной в точке
a
, то эту точку называют точкой разрыва функции )(
x
f
.
В силу теоремы 18 точка a является точкой разрыва функции )(
x
f
в одном
из следующих случаев:
1)
существуют равные между собой односторонние пределы )0( −a
f
и )0( +a
f
,
но они не совпадают с
)(a
f
:
)()0()0( a
f
a
f
a
f
≠
+
=
−
;
2)
существуют односторонние пределы
)0(
−
a
f
и
)0( +a
f
, однако
)0()0(
+
≠− a
f
a
f
;
3)
по крайней мере, один из односторонних пределов )0( −a
f
или )0( +a
f
не
существует (или равен бесконечности).
3
Если имеет место один из первых двух случаев, 1) или 2), то точку a назы-
вают точкой разрыва I рода. В случае 1) точку a называют точкой устранимого
разрыва. Такое название объясняется тем, что достаточно доопределить (или пе-
реопределить, если она уже была определена) функцию в точке
a
, полагая
)0()0()(
+
=
−= a
f
a
f
a
f
, чтобы функция стала непрерывной в точке
a
.
В случае 3) точка
a
называется точкой разрыва II рода. Другими словами,
точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва I рода, называется точкой разрыва
II рода.
Пример
. Функция
x
x
xf
||
)( = определена (и, следовательно, непрерывна как
элементарная функция) при всех }0{
\
R
x
∈
. В точке 0
=
x
данная функция имеет
разрыв I рода (проверьте!). Функция
)3)(2(
1
)(
−−
=
xx
xg
имеет на числовой оси
две точки разрыва II рода:
2
=
x
и
3
=
x
(проверьте!).
3
До сих пор существование предела функции в точке означало существование конечного предела функции. Одна-
ко в литературе часто выделяют случай существования предела функции, равного бесконечности (бесконечно
большие функции).
17
Теорема 17. Для того чтобы существовал lim f ( x) необходимо и доста-
x→a
точно, чтобы существовали односторонние пределы f (a − 0) и f (a + 0) , и
f (a − 0) = f (a + 0) . В этом случае общее значение односторонних пределов равно
значению предела функции: f (a − 0) = f (a + 0) = lim f ( x) .
x→a
Доказательство теоремы проведите самостоятельно.
Из теоремы 17 и определения непрерывности функции следует
Теорема 18 (необходимое и достаточное условие непрерывности функции).
Для того чтобы функция f (x) , определенная в некоторой окрестности точки a
была непрерывна в этой точке необходимо и достаточно, чтобы существовали
односторонние пределы f (a − 0) и f (a + 0) , равные между собой и значению
функции в точке a : f (a − 0) = f (a + 0) = f (a ) .
11. Точки разрыва функции.
Определение. Пусть функция f (x) определена и непрерывна в некоторой
o
проколотой окрестности U (a) . Если функция не является непрерывной в точке
a , то эту точку называют точкой разрыва функции f (x) .
В силу теоремы 18 точка a является точкой разрыва функции f (x) в одном
из следующих случаев:
1) существуют равные между собой односторонние пределы f (a − 0) и f (a + 0) ,
но они не совпадают с f (a ) : f (a − 0) = f (a + 0) ≠ f (a ) ;
2) существуют односторонние пределы f (a − 0) и f (a + 0) , однако
f (a − 0) ≠ f (a + 0) ;
3) по крайней мере, один из односторонних пределов f (a − 0) или f (a + 0) не
существует (или равен бесконечности).3
Если имеет место один из первых двух случаев, 1) или 2), то точку a назы-
вают точкой разрыва I рода. В случае 1) точку a называют точкой устранимого
разрыва. Такое название объясняется тем, что достаточно доопределить (или пе-
реопределить, если она уже была определена) функцию в точке a , полагая
f (a ) = f (a − 0) = f (a + 0) , чтобы функция стала непрерывной в точке a .
В случае 3) точка a называется точкой разрыва II рода. Другими словами,
точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва I рода, называется точкой разрыва
II рода.
| x|
Пример. Функция f ( x) = определена (и, следовательно, непрерывна как
x
элементарная функция) при всех x ∈ R \ {0} . В точке x = 0 данная функция имеет
1
разрыв I рода (проверьте!). Функция g ( x) = имеет на числовой оси
( x − 2)( x − 3)
две точки разрыва II рода: x = 2 и x = 3 (проверьте!).
3
До сих пор существование предела функции в точке означало существование конечного предела функции. Одна-
ко в литературе часто выделяют случай существования предела функции, равного бесконечности (бесконечно
большие функции).
