ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
16
)(
)(
)(
xQ
xP
xf =
, где )(
x
P
и )(
x
Q – многочлены, – рациональная (или дробно-
рациональная) функция;
x
axf =)(, где 1,0
≠
> aa , – показательная функция;
xxf
a
log)( = , где 1,0 ≠> aa , – логарифмическая функция;
α
xxf =)(, где 0, ≠
∈
α
α
R , – степенная функция;
тригонометрические функции
x
ctg
x
tg
x
x
,,cos,sin ;
обратные тригонометрические функции
x
arcctg
x
arctg
x
a
r
x
,,cos,arcsin
.
Лемма
. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, в
которых они определены.
(Без доказательства)
Определение
. Функция, полученная из основных элементарных функций с
помощью конечного числа суперпозиций, операций сложения, умножения и де-
ления, называется элементарной функцией.
Теорема 16
(о непрерывности элементарных функций). Элементарная
функция непрерывна во всех точках области определения.
Δ
Теорема является непосредственным следствием леммы и теорем о непрерыв-
ности сложной функции и об арифметических операциях с непрерывными функ-
циями.
▲
10. Односторонние пределы. Понятие предела функции в точке можно
разложить на две составляющие части: )(lim
x
f
, когда a
x
→ , оставаясь все время
меньше a , т.е. a
x
→ слева, и )(lim
x
f
, когда a
x
→ , оставаясь все время больше
a , т.е. a
x
→ справа. В этом случае говорят об односторонних пределах, обозна-
чая их
)(lim
0
xf
ax −→
или
)0(
−
a
f
(для левого предела) и
)(lim
0
xf
ax +→
или
)0( +a
f
(для правого предела).
Дадим строгие определения.
Определение 1
. Число b называется пределом слева функции )(
x
f
при
a
x
→
, если для
0>
∀
ε
0>∃
δ
такое, что для всех
x
, для которых
a
x
a <<−
δ
,
справедливо неравенство
ε
<
− |)(| b
x
f
.
Определение 2
. Число
c
называется пределом справа функции
)(
x
f
при
a
x
→ , если для 0>
∀
ε
0>∃
δ
такое, что для всех
x
, для которых
δ
+<< a
x
a ,
справедливо неравенство
ε
<
− |)(| c
x
f
.
Сравнение этих определений и определения предела функции в точке
a
показывает, что если функция имеет предел в точке
a
, то этот предел одновре-
менно является ее левым и правым пределами в этой точке. Обратное, вообще го-
воря, неверно (т.е. не всегда верно). В качестве примера
рассмотрите поведение
функции
x
sign
x
f
=
)(
(сигнум икс) в окрестности точки
0
=
x
.
Связь между пределом и односторонними пределами функции устанавли-
вает
16
P( x)
f ( x) = , где P(x) и Q(x) – многочлены, – рациональная (или дробно-
Q( x)
рациональная) функция;
f ( x) = a x , где a > 0, a ≠ 1 , – показательная функция;
f ( x) = log a x , где a > 0, a ≠ 1 , – логарифмическая функция;
f ( x ) = xα , где α ∈ R , α ≠ 0 , – степенная функция;
тригонометрические функции sin x , cos x , tg x , ctg x ;
обратные тригонометрические функции arcsin x , ar cos x , arctg x , arcctg x .
Лемма. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, в
которых они определены.
(Без доказательства)
Определение. Функция, полученная из основных элементарных функций с
помощью конечного числа суперпозиций, операций сложения, умножения и де-
ления, называется элементарной функцией.
Теорема 16 (о непрерывности элементарных функций). Элементарная
функция непрерывна во всех точках области определения.
Δ Теорема является непосредственным следствием леммы и теорем о непрерыв-
ности сложной функции и об арифметических операциях с непрерывными функ-
циями. ▲
10. Односторонние пределы. Понятие предела функции в точке можно
разложить на две составляющие части: lim f ( x) , когда x → a , оставаясь все время
меньше a , т.е. x → a слева, и lim f ( x) , когда x → a , оставаясь все время больше
a , т.е. x → a справа. В этом случае говорят об односторонних пределах, обозна-
чая их lim f ( x) или f (a − 0) (для левого предела) и lim f ( x) или f (a + 0)
x → a −0 x → a+0
(для правого предела).
Дадим строгие определения.
Определение 1. Число b называется пределом слева функции f (x) при
x → a , если для ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что для всех x , для которых a − δ < x < a ,
справедливо неравенство | f ( x) − b | < ε .
Определение 2. Число c называется пределом справа функции f (x) при
x → a , если для ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что для всех x , для которых a < x < a + δ ,
справедливо неравенство | f ( x) − c | < ε .
Сравнение этих определений и определения предела функции в точке a
показывает, что если функция имеет предел в точке a , то этот предел одновре-
менно является ее левым и правым пределами в этой точке. Обратное, вообще го-
воря, неверно (т.е. не всегда верно). В качестве примера рассмотрите поведение
функции f ( x) = sign x (сигнум икс) в окрестности точки x = 0 .
Связь между пределом и односторонними пределами функции устанавли-
вает
