ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
18
12. Свойства непрерывных функций. Непрерывные функции обладают
рядом важных свойств, некоторые из которых мы сформулируем.
Символом
],[ baC
обозначают множество непрерывных на отрезке
],[ ba
функций. Таким образом, запись ],[ baC
f
∈
будет означать, что функция
)(
x
f
определена и непрерывна на отрезке ],[ ba .
Теорема 19
(первая теорема Вейерштрасса
4
). Если ],[ baC
f
∈
, то она огра-
ничена на этом отрезке, т.е. существует число
M
такое, что
],[,|)(| ba
x
M
x
f
∈
∀<
.
(Без доказательства)
Ясно, что обратное утверждение не имеет места, так как функция
x
sign
ограничена на ]2,1[
−
( ]2,1[,1||
−
∈
∀
≤
x
x
sign ), однако не является непрерывной
на этом отрезке (разрыв I рода в точке 0
=
x
).
В том случае, когда ),( baC
f
∈ , она может быть и неограниченной. Дейст-
вительно,
x
tg
x
f
=
)(
непрерывна на
)2
/
;2
/
(
π
π
−
, но является неограниченной на
этом промежутке.
Если функция не является непрерывной на
],[ ba
, то ограниченности на
этом отрезке может и не быть. Например, функция
⎩
⎨
⎧
=
≤
<
=
,0,0
,10,/1
)(
xесли
xеслиx
xf
определена на отрезке ]1;0[, однако не является ограниченной на нем.
Теорема 20
(вторая теорема Вейерштрасса). Если
],[ baC
f
∈
, то она дос-
тигает на
],[ ba своего наибольшего и наименьшего значения, т.е. существуют
такие точки
],[,
21
baxx
∈
, что
],[),()()(
21
baxxfxfxf
∈
∀
≤
≤
.
(Без доказательства)
Теорема 21
(Больцано
5
– Коши
6
). Пусть ],[ baC
f
∈
, причем 0)()( <⋅ b
f
a
f
.
Тогда существует точка
),(
0
bax
∈
такая, что 0)(
0
=
xf .
(Без доказательства)
Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если непрерывная кри-
вая на концах отрезка
],[ ba принимает значения разных знаков, то она пересекает
ось абсцисс (см. рис. 4).
Рис. 4.
4
Вейерштрасс Карл (1815 – 1897) – выдающийся немецкий математик.
5
Больцано Бернард (1781 – 1848) – чешский математик, философ, логик.
6
Коши Огюстен (1789 – 1857) – выдающийся французский математик.
Y
X
a
b
0
0
x
18
12. Свойства непрерывных функций. Непрерывные функции обладают
рядом важных свойств, некоторые из которых мы сформулируем.
Символом C [a, b] обозначают множество непрерывных на отрезке [a, b]
функций. Таким образом, запись f ∈ C [a, b] будет означать, что функция
f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] .
Теорема 19 (первая теорема Вейерштрасса4). Если f ∈ C [a, b] , то она огра-
ничена на этом отрезке, т.е. существует число M такое, что
| f ( x ) | < M , ∀ x ∈ [ a, b] .
(Без доказательства)
Ясно, что обратное утверждение не имеет места, так как функция sign x
ограничена на [−1,2] ( | sign x | ≤ 1, ∀ x ∈ [−1,2] ), однако не является непрерывной
на этом отрезке (разрыв I рода в точке x = 0 ).
В том случае, когда f ∈ C (a, b) , она может быть и неограниченной. Дейст-
вительно, f ( x) = tg x непрерывна на (−π / 2 ; π / 2) , но является неограниченной на
этом промежутке.
Если функция не является непрерывной на [a, b] , то ограниченности на
этом отрезке может и не быть. Например, функция
⎧1 / x , если 0 < x ≤ 1,
f ( x) = ⎨
⎩0 , если x = 0,
определена на отрезке [0 ; 1] , однако не является ограниченной на нем.
Теорема 20 (вторая теорема Вейерштрасса). Если f ∈ C [a, b] , то она дос-
тигает на [ a, b] своего наибольшего и наименьшего значения, т.е. существуют
такие точки x1 , x2 ∈ [a, b] , что f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x2 ), ∀ x ∈ [a, b] .
(Без доказательства)
Теорема 21 (Больцано – Коши6). Пусть f ∈ C [a, b] , причем f (a ) ⋅ f (b) < 0 .
5
Тогда существует точка x0 ∈ (a, b) такая, что f ( x0 ) = 0 .
(Без доказательства)
Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если непрерывная кри-
вая на концах отрезка [ a, b] принимает значения разных знаков, то она пересекает
ось абсцисс (см. рис. 4).
Y
a
0 x0 b X
Рис. 4.
4
Вейерштрасс Карл (1815 – 1897) – выдающийся немецкий математик.
5
Больцано Бернард (1781 – 1848) – чешский математик, философ, логик.
6
Коши Огюстен (1789 – 1857) – выдающийся французский математик.
