Математический анализ. Саакян Г.Р. - 6 стр.

                                                                                    6

      1. Понятие окрестности точки. Окрестностью точки a ∈ R называют
любой интервал (α , β ), содержащий эту точку ( α < a < β ). Условимся обозна-
чать окрестность точки a символом U (a ) .
      Если из окрестности U (a ) сама точка a удалена, то такую окрестность на-
                                                                    o
зывают проколотой окрестностью точки a . Обозначим ее через U (a ) .
        Ранее было введено понятие ε -окрестности точки a , а именно,
U ε (a ) = (a − ε , a + ε ) . Таким образом, ε -окрестность любой точки – это окрест-
ность специального (вышеуказанного) вида.
        Под окрестностью U ∞ бесконечно удаленной точки (или символа ∞ ; при
этом неважно, − ∞ или + ∞ имеется ввиду) понимается внешность любого отрез-
ка [α , β ] , т.е. U ∞ = (−∞ , α ) ∪ ( β , + ∞) или U ∞ = R \ [α , β ] .
        2. Понятие предела функции. Пусть функция определена на некоторой
окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a (т.е. на U (a )
     o
или U (a ) ).
      Определение. Число b называется пределом функции f в точке a ∈ R (или
«при x , стремящемся к a »), если для любого числа ε > 0 существует число
δ > 0 такое, что неравенство
                                     | f ( x) − b |< ε
выполняется для всех x , для которых 0 <| x − a |< δ .
      Комментарий к определению. Определение означает, что при значениях x ,
близких к a , значения функции f (x) близки к b . Сложность формулировки оп-
ределения вызвана необходимостью точно указать смысл выражений «значения
аргумента x , близкие к a » и «значения функции f (x) близки к b ».
      Тот факт, что число b является пределом функции f в точке a , принято
записывать следующим образом:
                            lim f ( x) = b или f ( x) → b .
                            x→a                  x→a
        Запись определения предела с использованием символов математической
логики выглядит так: ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x (0 <| x − a |< δ ) | f ( x) − b |< ε .
        Подчеркнем, что функция, имеющая предел в точке a , может быть и не оп-
ределена в этой точке. Этот факт отражается в определении предела записью
« | x − a |> 0 ».
        Упражнение. Сформулируйте отрицание определения предела функции в
точке, т.е. определение того, что число b не является пределом функции f (x) в
точке a .
        Теорема 4 (связь между пределом функции и пределом последовательно-
сти). Для того чтобы существовал
                                   lim f ( x) = b ,
                                    x→a