Теория игр: Текст лекций. Саакян Г.Р. - 3 стр.

                                                                                           2

        •  к выработке принципов оптимальности, т.е. того критерия, по которому поведение
           игроков следует считать оптимальным (разумным, целесообразным);
       • выяснению реализуемости этих принципов, т.е. установлению существования оп-
           тимальных в выработанном смысле ситуаций, и отысканию этих реализаций.
       Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, т.е. определение
для них оптимальной стратегии. Оптимальной называется стратегия, которая при много-
кратном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний
выигрыш. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным,
в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.
       Одной из плодотворных форм воплощения представлений об оптимальности можно
считать понятие равновесия, при котором складывается такая равновесная ситуация, в нару-
шении которой не заинтересован ни один из игроков.
       Именно ситуации равновесия могут быть предметом устойчивых договоров между
игроками (ни у одного из игроков не будет мотивов к нарушению договора). Кроме того, си-
туации равновесия являются выгодными для каждого игрока: в равновесной ситуации каж-
дый игрок получает наибольший выигрыш (разумеется в той мере, в какой это от него зави-
сит).
       Если в игре ситуации равновесия (в пределах отпущенных возможностей) нет, то, ос-
таваясь в условиях стратегий, имеющихся у игроков, мы сталкиваемся с неразрешимой зада-
чей.
       При возникновении подобных случаев естественно ставить вопрос о таком расшире-
нии первоначального понятия стратегии, чтобы среди ситуаций, составленных из новых,
обобщенных стратегий, заведомо нашлись равновесные. Если такие обобщенные стратегии
существуют, то обычно они представляются некоторыми комбинациями исходных стратегий
(при этом, естественно, предполагается, что игра повторяется многократно). Для того чтобы
отличать прежние стратегии от новых, первые называют чистыми, а вторые – смешанными
стратегиями.
       Сказанное мы проиллюстрируем на примере одного из самых простых и наиболее
изученных классов игр, на так называемых матричных играх. Исследование матричных игр
интересно еще и потому, что к ним могут быть приближенно сведены многие игры более
общего вида.

                                    1. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

        Рассмотрим игру, в которой участвуют два игрока, причем каждый из них имеет ко-
нечное число стратегий. Обозначим для удобства одного из игроков через A , а другого – че-
рез B .
        Предположим, что игрок A имеет m стратегий: A1 , A2 ,..., Am , а игрок B – n страте-
гий: B1 , B2 ,..., Bn .
        Пусть игрок A выбрал стратегию Ai , а игрок B – стратегию Bk . Будем считать, что
выбор игроками стратегий Ai и Bk однозначно определяет исход игры – выигрыш a ik игро-
ка A и выигрыш bik игрока B , причем эти выигрыши связаны равенством
                                            a ik = −bik
(отрицательный выигрыш на бытовом языке обычно называют проигрышем).
       Последнее условие показывает, что в рассматриваемых обстоятельствах выигрыш од-
ного из игроков равен выигрышу другого, взятому с противоположным знаком. Поэтому при
анализе такой игры можно рассматривать выигрыши только одного из игроков. Пусть это
будут, например, выигрыши игрока A .