Теория игр: Текст лекций. Саакян Г.Р. - 4 стр.

                                                                                              3

       Если нам известны значения a ik выигрыша при каждой паре стратегий (в каждой си-
туации) { Ai , Bk } , i = 1,2,..., m , k = 1,2,..., n , то их удобно записывать в виде матрицы,
строки которой соответствуют стратегиям игрока A , а столбцы – стратегиям игрока B :
                                         ⎛ a11    a12   ... a1n ⎞
                                         ⎜                       ⎟
                                         ⎜a       a22   ... a2 n ⎟
                                     A = ⎜ 21                      .
                                            ...
                                           ...          ... ... ⎟
                                         ⎜⎜                      ⎟
                                          ⎝ am1
                                          am 2          ... amn ⎟⎠
       Полученная матрица имеет размеры m × n и называется матрицей игры или пла-
тежной матрицей (отсюда и название игры – матричная).
        Рассматриваемую игру часто называют игрой m × n или m × n -игрой.
        Замечание. Матричные игры относятся к разряду так называемых антагонистических
игр, т.е. игр, в которых интересы игроков прямо противоположны. Рассматриваемая модель
называется антагонистической игрой двух лиц с нулевой суммой (имеются два участника, и
выигрыш одного равен проигрышу другого).
        Пример 1. Каждый из двух игроков A и B одновременно и независимо друг от друга
записывает на листе бумаги любое целое число. Если выписанные числа имеют одинаковую
четность, то игрок A получает от игрока B 1 рубль, а если разную, то, наоборот, игрок A
платит 1 рубль игроку B .
        У игрока A две стратегии: A1 – «записать четное число» и A2 – «записать нечетное
число». У игрока B такие же две стратегии: B1 – «записать четное число» и B2 – «записать
нечетное число».
      Выбор игроками соответственно стратегий A i и Bk однозначно определяет исход иг-
ры: a ik – выигрыш игрока A .
       Матрица этой 2 × 2 -игры имеет следующий вид:
                                           ⎛ 1 − 1⎞
                                           ⎜⎜        ⎟⎟
                                            ⎝ −1 1 ⎠
(здесь строки соответствуют стратегиям игрока A , а столбцы – стратегиям игрока B ).

                                    1.1. Равновесная ситуация

      Рассмотрим следующий пример.
      Пример 2. Два игрока A и B , не глядя друг на друга, кладут на стол по картонному
кружку красного ( r ), зеленого ( g ) или синего ( b ) цвета, сравнивают цвета кружков и рас-
плачиваются друг с другом так, как показано в матрице игры:
                                          ⎛ − 2 2 − 1⎞
                                          ⎜          ⎟
                                          ⎜ 2   1 1⎟
                                          ⎜ 3 −3 1 ⎟
                                          ⎝          ⎠
(напомним, что у этой 3× 3 -матрицы строки соответствуют стратегиям игрока A , а столбцы
– стратегиям игрока B ).
       Считая, что эта игра 3× 3 повторяется многократно, попробуем определить опти-
мальные стратегии каждого из игроков.
       Начнем с последовательного анализа стратегий игрока A , не забывая о том, что, вы-
бирая стратегию игрока A , нужно принимать в расчет ответную стратегию игрока B , кото-
рую он может выбрать так, чтобы свести выигрыш игрока A к минимуму.