Теория игр: Текст лекций. Саакян Г.Р. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

4
Так, на стратегию он может ответить стратегией (минимальный выигрыш ра-
вен , что на самом деле означает проигрыш игрока
r
A
r
B
2−
A
, равный ), на стратегию –
стратегией или (минимальный выигрыш игрока
2
g
A
g
B
b
B
A
равен ), а на стратегию –
стратегией (минимальный выигрыш игрока
1
b
A
g
B
A
равен 3
−
).
Запишем эти минимальные выигрыши в правом столбце таблицы:
r
B
g
B
b
B
r
A
2
−
2
1
−
2
−
g
A
2 1 1 1
b
A
3 3
−
1
3
−
Максимин (maxmin). Неудивительно, что игрок
A
останавливает свой выбор на
стратегии , при которой его минимальный выигрыш максимален (из трех чисел
g
A 2
−
, 1 и
максимальным является
1
), 3−
maxmin=1.
Если игрок
A
будет придерживаться этой стратегии, то ему гарантирован выигрыш,
не меньший 1, при любом поведении противника в игре.
Аналогичные рассуждения можно провести и за игрока . Так как игрок заинте-
ресован в том, чтобы обратить выигрыш игрока
B B
A
в минимум, то ему нужно проанализиро-
вать каждую свою стратегию с точки зрения максимального выигрыша игрока
A
.
Выбирая свою стратегию, игрок должен учитывать, что при этом стратегией его
противника
B
A
может оказаться та, при которой выигрыш игрока
A
будет максимальным.
Так, на стратегию он может ответить стратегией (максимальный выигрыш игрока
r
B
b
A
A
равен ), на стратегию – стратегией (максимальный выигрыш игрока 3
g
B
r
A
A
равен ), а
на стратегию – стратегией или (максимальный выигрыш игрока
2
b
B
g
A
b
A
A
равен 1). Эти
максимальные выигрыши записаны в нижней строке таблицы:
r
B
g
B
b
B
r
A
2
−
2 1
−
2
−
g
A
2 1 1 1
b
A
3 3
−
1
3
−
3
2 1
Минимакс (minmax). Неудивительно, если игрок остановит свой выбор на страте-
гии , при которой максимальный выигрыш игрока
B
b
B
A
минимален (из трех чисел 3, и 1
минимальным является 1),
2
minmax=1.
Если игрок будет придерживаться этой стратегии, то при любом поведении про-
тивника он проиграет не больше 1.
B
Итак, в рассматриваемой игре числа maxmin и minmax совпали:
maxmin=minmax=1
(соответствующие элементы в таблице выделены жирной рамкой): 
                                                                                     4

      Так, на стратегию Ar он может ответить стратегией Br (минимальный выигрыш ра-
вен − 2 , что на самом деле означает проигрыш игрока A , равный 2 ), на стратегию Ag –
стратегией Bg или Bb (минимальный выигрыш игрока A равен 1 ), а на стратегию Ab –
стратегией Bg (минимальный выигрыш игрока A равен − 3 ).
      Запишем эти минимальные выигрыши в правом столбце таблицы:

                                 Br       Bg       Bb
                         Ar      −2       2        −1      −2
                         Ag      2        1        1        1
                         Ab       3       −3       1       −3

       Максимин (maxmin). Неудивительно, что игрок A останавливает свой выбор на
стратегии Ag , при которой его минимальный выигрыш максимален (из трех чисел − 2 , 1 и
− 3 максимальным является 1 ),
                                          maxmin=1.
       Если игрок A будет придерживаться этой стратегии, то ему гарантирован выигрыш,
не меньший 1 , при любом поведении противника в игре.
       Аналогичные рассуждения можно провести и за игрока B . Так как игрок B заинте-
ресован в том, чтобы обратить выигрыш игрока A в минимум, то ему нужно проанализиро-
вать каждую свою стратегию с точки зрения максимального выигрыша игрока A .
       Выбирая свою стратегию, игрок B должен учитывать, что при этом стратегией его
противника A может оказаться та, при которой выигрыш игрока A будет максимальным.
Так, на стратегию Br он может ответить стратегией Ab (максимальный выигрыш игрока A
равен 3 ), на стратегию Bg – стратегией Ar (максимальный выигрыш игрока A равен 2 ), а
на стратегию Bb – стратегией Ag или Ab (максимальный выигрыш игрока A равен 1 ). Эти
максимальные выигрыши записаны в нижней строке таблицы:

                                 Br       Bg       Bb
                         Ar      −2       2        −1      −2
                         Ag      2        1        1        1
                         Ab       3       −3       1       −3
                                  3       2        1

       Минимакс (minmax). Неудивительно, если игрок B остановит свой выбор на страте-
гии Bb , при которой максимальный выигрыш игрока A минимален (из трех чисел 3 , 2 и 1
минимальным является 1 ),
                                           minmax=1.
       Если игрок B будет придерживаться этой стратегии, то при любом поведении про-
тивника он проиграет не больше 1 .
       Итак, в рассматриваемой игре числа maxmin и minmax совпали:
                                       maxmin=minmax=1
(соответствующие элементы в таблице выделены жирной рамкой):

Страницы