Методическое пособие по курсу общей физики. Механика. Сабирова Ф.М - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕИ КФУ | Елабуга

Составители: 

Рубрика: 

55
Скорость достигает своего максимального значения в момент
времени, когда
cos( )
ω
ϕ
t
+
0
=1: v
max
=
A
ω
. Смещение же точки в этот
момент рано нулю
x
=0 (рис. 21.3, б).
Ускорение изменяется со временем также по гармоническому закону:
a
d
dt
d
d
t
At A t х== + =− + =−
v
ωωϕ ω ωϕ ω
cos( ) (sin )
0
2
0
2
, (3)
где
A
ω
2
– максимальное значение ускорения. Знак минус означает, что
ускорение направлено в сторону, противоположную смещению, т.е.
ускорение и смещение изменяются в противофазе (рис. 21.3, в). Из рис.
21.3. видно, что скорость достигает максимального значения, когда
колеблющаяся точка проходит положение равновесия. В этот момент
смещение и ускорение равны нулю.
22. Дифференциальное уравнение свободных колебаний
.
Простейшие механические колебательные системы.
Свободными (собственными) называются колебания, которые
происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на
колебательную систему. Они возникают вследствие какого-либо
начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого
равновесия. Для того, чтобы тело совершало гармоническое колебательное
движение, на него должна действовать сила, всегда направленная к
положению равновесия
, а по величине – прямо пропорциональная
смещению от этого положения. Силы, направленные к положению
равновесия, называются возвращающими.
Рассмотрим свободные колебания, происходящие в системе с одной
степенью свободы. Пусть тело массой т укреплено на пружине, упругость
которой k (пружинный маятник, рис.22.1). В отсутствие сил трения на тело,
выведенное из положения равновесия,
действует упругая сила пружины
F= –kx. Тогда по второму закону динамики
Fm
dx
d
t
=
2
2
имеем:
m
dx
dt
kx
2
2
=− или m
dx
dt
kx
2
2
0+=. (1)
Если ввести обозначение
ω
= km/ , то уравнение (1)
можно переписать в следующем виде:
dx
dt
x
2
2
2
0+=
ω
(2)
Это и есть дифференциальное уравнение свободных
колебаний с одной степенью свободы. Его решением является функция
k
m
х
Рис.22.1
                                                                     55
    Скорость достигает своего максимального значения в момент
времени, когда cos(ωt + ϕ 0 ) =1: v max = Aω . Смещение же точки в этот
момент рано нулю x =0 (рис. 21.3, б).
    Ускорение изменяется со временем также по гармоническому закону:
           dv d
      a=     =   Aω cos(ωt + ϕ 0 ) = − Aω 2 (sin ωt + ϕ 0 ) = −ω 2 х ,       (3)
           dt dt
где Aω 2 – максимальное значение ускорения. Знак минус означает, что
ускорение направлено в сторону, противоположную смещению, т.е.
ускорение и смещение изменяются в противофазе (рис. 21.3, в). Из рис.
21.3. видно, что скорость достигает максимального значения, когда
колеблющаяся точка проходит положение равновесия. В этот момент
смещение и ускорение равны нулю.

            22. Дифференциальное уравнение свободных колебаний.
              Простейшие механические колебательные системы.

     Свободными (собственными) называются колебания, которые
происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на
колебательную систему. Они возникают вследствие какого-либо
начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого
равновесия. Для того, чтобы тело совершало гармоническое колебательное
движение, на него должна действовать сила, всегда направленная к
положению равновесия, а по величине – прямо пропорциональная
смещению от этого положения. Силы, направленные к положению
равновесия, называются возвращающими.
     Рассмотрим свободные колебания, происходящие в системе с одной
степенью свободы. Пусть тело массой т укреплено на пружине, упругость
которой k (пружинный маятник, рис.22.1). В отсутствие сил трения на тело,
выведенное из положения равновесия, действует упругая сила пружины
                                                            d2x
F= –kx. Тогда по второму закону динамики F = m
                                                            dt 2
            d2x             d2x
имеем: m         = − kx   или m  + kx = 0 . (1)
            dt 2            dt 2
                                                                         k
    Если ввести обозначение ω = k / m , то уравнение (1)
                                                                              m
                                           d2x
можно переписать в следующем виде:            2
                                                +ω2x = 0
                                           dt                      х
(2)                                                                    Рис.22.1
    Это и есть дифференциальное уравнение свободных
колебаний с одной степенью свободы. Его решением является функция

Страницы