Методическое пособие по курсу общей физики. Механика. Сабирова Ф.М - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕИ КФУ | Елабуга

Составители: 

Рубрика: 

57
23. Энергия гармонических колебаний.
Характерной чертой гармонического осциллятора является то, что
средние значения кинетической и потенциальной энергии осциллятора
равны друг другу и каждое из них составляет половину полной энергии.
Покажем это.
Кинетическую энергия колеблющегося тела можно определить, если в
выражение для кинетической энергии
Em
K
=v
2
/2 подставить скорость
v =
+
At
ω
ω
ϕ
cos( )
0
:
E
m
mA t
K
=
v
2
22 2
2
1
2
=
ωω
cos (1).
Потенциальная энергия, обусловленная упругой силой, определяется
как эквивалент работы, необходимой для смещения тела на расстояние x от
положения равновесия, и равна:
Ekxdx
kx
P
=− − =
÷
∫
()
2
0
2
=
1
2
22
kA tsin
ω
.
Учитывая, что
kx=
ω
2
, получим:
EmA t
P
=
1
2
22 2
ωω
sin . (2).
Полная механическая энергия осциллятора равна:
EE E
KP
=
+
.
EmA tmA t=+=
1
2
1
2
22 2 22 2
ωωωω
sin cos
=+=
mA
tt
mA
ω
ωω
ω
22
22
22
22
(sin cos )
E
mA
=
ω
22
2
.
Из выражений (1) и (2) видно, что кинетическая и
потенциальная энергии изменяются со временем,
причем, когда кинетическая энергия максимальна,
потенциальная энергия обращается в нуль, и наоборот (рис.23.1). Период
колебания кинетической и потенциальной энергий вдвое меньше периода
колебаний системы. Полная механическая энергия гармонического
колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату
частоты. Постоянство
полной механической энергии обусловлено
отсутствием потерь энергии на совершение работы против сил
сопротивления.
х
0
T/4 3T/4 t
E
K
0 t
E
P
0 t
Е
t
T/2 T
Рис.23.1.
                                                                                 57
                   23. Энергия гармонических колебаний.

    Характерной чертой гармонического осциллятора является то, что
средние значения кинетической и потенциальной энергии осциллятора
равны друг другу и каждое из них составляет половину полной энергии.
Покажем это.
    Кинетическую энергия колеблющегося тела можно определить, если в
выражение для кинетической энергии E K = mv 2 / 2 подставить скорость
v = Aω cos(ωt + ϕ 0 ) :
                          mv 2 1
                   EK =       = mω 2 A 2 cos 2 ω t              (1).
                           2   2
     Потенциальная энергия, обусловленная упругой силой, определяется
как эквивалент работы, необходимой для смещения тела на расстояние x от
положения равновесия, и равна:
                            ÷
                                             kx 2 1 2
                    E P = − ∫ ( − kx )dx =       = kA sin 2 ωt .
                            0                 2   2
Учитывая, что k = ω 2 x , получим:
                   1
            EP =     mω 2 A 2 sin 2 ωt .         (2).
                   2                                         х
Полная механическая энергия осциллятора равна:
                                                                0
                     E = EK + EP .                                  T/4   3T/4   t
        1                       1
     E=   mω 2 A 2 sin 2 ωt + mω 2 A 2 cos 2 ωt =            EK
        2                       2
                                                                0                t
       mω 2 A 2                           mω 2 A 2
     =          (sin 2 ωt + cos 2 ωt ) =
         2                                  2                EP

                             mω A  2  2
                                                             0                       t
                        E=              .
                                  2                         Е
     Из выражений (1) и (2) видно, что кинетическая и                t
потенциальная энергии изменяются со временем,                T/2    T
причем, когда кинетическая энергия максимальна,           Рис.23.1.
потенциальная энергия обращается в нуль, и наоборот (рис.23.1). Период
колебания кинетической и потенциальной энергий вдвое меньше периода
колебаний системы. Полная механическая энергия гармонического
колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату
частоты. Постоянство полной механической энергии обусловлено
отсутствием потерь энергии на совершение работы против сил
сопротивления.

Страницы