Методическое пособие по курсу общей физики. Механика. Сабирова Ф.М - 58 стр.

58
                           24. Затухающие колебания.

     Реально свободные колебания под действием сил сопротивления
всегда затухают. Объясняется это действием сил, тормозящих движение,
например, сил трения в месте подвеса при колебаниях маятника, или силой
сопротивления среды. В этом случае энергия механических колебаний
постепенно расходуется на работу против этих сил. Поэтому свободные
колебания под действием сил сопротивления всегда затухают.
     Пусть точка совершает линейное гармоническое колебание в вязкой
среде. Из опыта известно, что сила сопротивления среды зависит от
скорости и направлена в сторону, противоположную скорости. При малых
                                 dx
скоростях: Fсоп р = − rv = − r      , где r – постоянная величина, называемая
                                 dt
коэффициентом сопротивления среды. Уравнение колебаний:
                           d2x              dx
                              2
                                = − kx − r .
                                 m
                           dt               dt
                         r        k
     Введем обозначения:   = 2β ,    = ω 02 , тогда дифференциальное
                         m        m
уравнение затухающего колебания:
                       d2x       dx
                          2
                            + 2β    + ω 02 x = 0 (1)
                       dt        dt
где β – коэффициент затухания, ω0 – собственная частота колебания. При
отсутствии трения β =0, уравнение примет вид уравнения для свободных
незатухающих колебаний. В результате решения уравнения (1) получим
зависимость смещения х от времени, то есть
уравнение затухающего колебательного движения:        A
          x = A0 e cos(ωt + ϕ 0 )
                  − βt
                                         (2)
     Выражение      A0 e − βt называется амплитудой
затухающего колебания. Амплитуда уменьшается с                      t
течением времени и тем быстрее, чем больше
коэффициент затухания. Огибающая на графике               Рис.24.1.
зависит от β . Чем она больше, тем круче
огибающая, то есть колебания быстрее затухают (рис.24.1).
     Путем подстановки функции (2) и ее производных по времени в
уравнение (1), можно найти значение угловой частоты: ω = ω 02 − β 2 .
                                                   2π
Период затухающих колебаний равен: T =                        .
                                                 ω 02 − β 2