Методическое пособие по курсу общей физики. Механика. Сабирова Ф.М - 60 стр.

60
     Таким образом, вынуждающая сила раскачивает систему, сообщая ей
запас энергии, и пополняет расходуемую энергию, поддерживая
колебательное движение. В первый момент система совершает помимо
вынужденных еще свободные колебания. Частота свободных колебаний
                                                                    k   r2
определяется по известной формуле: ω своб = ω 02 − β 2 =              −    . Эти
                                                                    m 4m 2
колебания затухают, и устанавливаются колебания, частота которых равна
частоте вынуждающей силы, то есть вынужденные колебания. Когда
работа вынуждающей силы сравнивается с энергией потерь, колебания
становятся установившимися. Амплитуда этих колебаний должна быть
постоянной, если постоянна амплитуда вынуждающей силы.
     Решение дифференциального уравнения при установившемся
движении имеет вид:           х вын (t ) = A cos(ωt + ϕ 0 )  (2)
где А, ϕ – величины, которые требуется определить, ω – круговая частота
колебаний внешней переменной силы. Подставляя (2) в (1) (без вывода),
получаем искомые величины:
                                         F0 m
                        A=                                  (3)
                               (ω 0 − ω 2 ) 2 + 4 β 2 ω 2
                                   2


                                             2 βω
                             ϕ = arctg                      (4)
                                         (ω 0 − ω 2 )
                                             2


    Амплитуда колебаний зависит от амплитуды и частоты внешних сил.
При некоторой частоте внешних сил знаменатель в выражении (3) будет
иметь минимальное значение, а амплитуда вынужденных колебаний –
максимальное значение. Эта частота называется резонансной. Для ее
нахождения, приравниваем к нулю производную:
           d
                    [                     ]
              (ω 2 − ω 0 ) 2 + 4 β 2ω = 0 ,
               dt
                        2                    А             β=0

        d
        dt
           [
           ω 0 − 2ω 02 ω 2 + ω 4 + 4 β 2 ω = 0
              4
                                               ]                               β1
                                                                               β2>β1
            − 4ω 02 ω + 4ω 3 + 8β 2 ω = 0
     Сократим на 4 ω : − ω 02 + ω 2 + 2 β 2 = 0 ,                      ω0        ω
                                                                  Рис. 25.1.
откуда получим: ω р ез = ω 02 − 2 β 2 .
                                              F0 m
Резонансная амплитуда: Aр ез =
                                       2mβ ω 0 + β 2
                                                   2