Методическое пособие по курсу общей физики. Механика. Сабирова Ф.М - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕИ КФУ | Елабуга

Составители: 

Рубрика: 

59
Наглядной характеристикой затухания является отношение значений двух
амплитуд, соответствующих промежутку времени в один период. Это
отношение называют декрементом затухания
θ
:
θ
β
β
β
== =
+
−
−+
A
A
Ae
Ae
e
t
tT
t
tT
T
0
0
()
.
Его натуральный логарифм есть безразмерная величина, называемая
логарифмическим декрементом затухания:
δβ
==
+
ln
A
A
T
t
tT
.
Промежуток времени
τ
β
=
1/
, в течение которого амплитуда
затухающего колебания убывает в
е раз, называют временем релаксации.
Тогда выражение для логарифмического декремента затухания
примет вид:
δ
τ
=
T
или
δ
=
1
N
.
Логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу
колебаний N, по истечении которых амплитуда колебаний уменьшается в
е
раз.
25. Вынужденные колебания. Резонанс.
Колебания системы, которые совершаются за счет работы
периодически меняющейся внешней силы, называются вынужденными.
Пусть на систему действует внешняя сила, меняющаяся со временем
по гармоническому закону:
FF t
вн
=
0
cos
ω
, где F
0
– амплитуда силы
(максимальное значение), ω – угловая частота колебаний вынуждающей
силы. Тогда уравнение движения будет иметь вид:
m
dx
dt
kx r
dx
dt
2
2
++ = Ft
0
cos
ω
.
Разделим обе части этого уравнения на m и введем вновь
обозначения:
r
m
k
m
==2
0
2
βω
, , тогда получим неоднородное
дифференциальное уравнение второго порядка:
dx
dt
dx
dt
x
2
2
0
2
2++
βω
=
F
m
t
0
cos
ω
(1)
Решение этого уравнения, как известно из высшей математики,
представляет собой сумму свободных и вынужденных колебаний:
xt x t x t
своб вын
() () ()
=
+
                                                                  59
Наглядной характеристикой затухания является отношение значений двух
амплитуд, соответствующих промежутку времени в один период. Это
отношение называют декрементом затухания θ :
                                At       A0 e − β t
                         θ=           =      −β ( t +T )
                                                         = eβ T .
                               At + T   A0 e
Его натуральный логарифм есть безразмерная величина, называемая
                                                               At
логарифмическим декрементом затухания: δ = ln                        =βT.
                                                              At + T
      Промежуток времени τ = 1 / β , в течение которого амплитуда
затухающего колебания убывает в е раз, называют временем релаксации.
     Тогда выражение для логарифмического декремента затухания
                  T             1
примет вид: δ =       или δ =     .
                  τ             N
     Логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу
колебаний N, по истечении которых амплитуда колебаний уменьшается в е
раз.

                      25. Вынужденные колебания. Резонанс.

     Колебания системы, которые совершаются за счет работы
периодически меняющейся внешней силы, называются вынужденными.
     Пусть на систему действует внешняя сила, меняющаяся со временем
по гармоническому закону: Fвн = F0 cosωt , где F0 – амплитуда силы
(максимальное значение), ω – угловая частота колебаний вынуждающей
силы. Тогда уравнение движения будет иметь вид:
                               d2x          dx
                           m      2
                                    + kx + r = F0 cosωt .
                               dt           dt
      Разделим обе части этого уравнения на m и введем вновь
                  r        k
обозначения:        = 2β ,   = ω 02 ,          тогда        получим     неоднородное
                  m        m
дифференциальное                уравнение                   второго         порядка:
  2
d x       dx           F
     + 2β    + ω 02 x = 0 cos ωt             (1)
dt 2      dt           m
    Решение этого уравнения, как известно из высшей математики,
представляет собой сумму свободных и вынужденных колебаний:
                                x (t ) = xсвоб (t ) + x вын (t )

Страницы