Основы теории игр. Садовин H.C - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МарГУ | Йошкар-Ола

Составители: 

Рубрика: 

25
может только уменьшиться, при условии, что второй игрок при-
держивается оптимальной стратегии
0
q
. Аналогично: неравенст-
во
(
)
(
)
000
,, ,,
£
HApq HApq
означает, что если второй игрок от-
клоняется от оптимальной стратегии
0
q
, то его проигрыш может
только увеличиться.
Условие оптимальности (2.9) аналогично условию
(
)
(
)
(
)
00
maxmin ,, , , minmax ,,
==
qqpp
H Apq H Ap q H Apq
. (2.10)
И величина
(
)
00
,,
=
HApq (2.11)
будет называться ценой игры, а «набор»
(
)
00
,,
n
pq называется
решением матричной игры.
Естественно, что возникают следующие вопросы: какие мат-
ричные игры имеют решение в смешанных стратегиях и как най-
ти это решение, если оно существует. Ответ на этот вопрос дает
основная теорема теории матричных игр.
Теорема 2.1. (Неймана). Для матричной игры с любой матрицей
A
величины
(
)
max min , ,
q
p
H Apq
,
(
)
min max , ,
q
p
H Apq
существуют и равны между собой:
(
)
max min , ,
q
p
H Apq
=
(
)
min max , ,
q
p
H Apq
.
Более того, существует, по крайней мере, одна ситуация
(
)
00
,
pq
, для которой выполняется соотношение:
может только уменьшиться, при условии, что второй игрок при-
держивается оптимальной стратегии q 0 . Аналогично: неравенст-
во H ( A, p 0 , q 0 ) £ H ( A, p 0 , q ) означает, что если второй игрок от-
клоняется от оптимальной стратегии q 0 , то его проигрыш может
только увеличиться.
    Условие оптимальности (2.9) аналогично условию

       max min H ( A, p, q ) = H ( A, p0 , q 0 ) = min max H ( A, p, q ) .   (2.10)
         p     q                                   q     p



       И величина

       H ( A, p 0 , q 0 ) = n                                                (2.11)


будет называться ценой игры, а «набор»                   ( p , q ,n )
                                                             0   0
                                                                        называется
решением матричной игры.
    Естественно, что возникают следующие вопросы: какие мат-
ричные игры имеют решение в смешанных стратегиях и как най-
ти это решение, если оно существует. Ответ на этот вопрос дает
основная теорема теории матричных игр.
    Теорема 2.1. (Неймана). Для матричной игры с любой матрицей
 A величины

       max min H ( A, p, q ) , min max H ( A, p, q )
         p     q                  q    p



существуют и равны между собой:

       max min H ( A, p, q ) = min max H ( A, p, q ) .
         p     q                  q    p



       Более того, существует, по крайней мере, одна ситуация
( p , q ) , для которой выполняется соотношение:
   0     0



                                           25

Страницы