Основы теории игр. Садовин H.C - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МарГУ | Йошкар-Ола

Составители: 

Рубрика: 

26
(
)
max min , ,
q
p
H Apq
=
(
)
min max , ,
q
p
H Apq
=
=
(
00
,,
n
=
HApq .
(2.12)
Другими словами, любая матричная игра имеет решение
в смешанных стратегиях.
В состав оптимальных смешанных стратегий игроков могут
входить не все чистые стратегии
,
ij
AB
, то есть вероятности не-
которых из них будут равны нулю
(
)
00
0, 0
==
ij
pq. Тогда те чис-
тые стратегии
,
ij
AB
, которые входят в оптимальные смешанные
стратегии, будут называться активными чистыми стратегиями.
На этот счет справедлива следующая теорема:
Теорема 2.2. Оптимальная смешанная стратегия
0
p
первого
игрока смешивается только из тех чистых стратегий
(
)
, 0
¹
ii
Ap ,
для которых выполнены равенства
0
1
n
=
=
å
n
ijj
j
aq ;
А в оптимальной смешанной стратегии
0
q
второго игрока
смешиваются только те стратегии
j
B
, для которых выполнены
равенства
0
1
n
=
=
å
m
iji
i
ap .
Кроме того, справедливы равенства:
0
11
0
11
min max min
min max max
n
==
==
===
==
åå
åå
mm
iji iji
jj
p
ii
nn
ij j ij j
q ii
jj
ap ap
aq aq
. (2.13)
    max min H ( A, p, q ) = min max H ( A, p, q ) =
         p            q                           q              p
                                                                                        (2.12)
    = H ( A, p , q ) =n . 0       0




    Другими словами, любая матричная игра имеет решение
в смешанных стратегиях.
    В состав оптимальных смешанных стратегий игроков могут
входить не все чистые стратегии Ai , B j , то есть вероятности не-
которых из них будут равны нулю ( pi0 = 0, q 0j = 0 ) . Тогда те чис-
тые стратегии Ai , B j , которые входят в оптимальные смешанные
стратегии, будут называться активными чистыми стратегиями.
На этот счет справедлива следующая теорема:
    Теорема 2.2. Оптимальная смешанная стратегия p 0 первого
игрока смешивается только из тех чистых стратегий Ai ,                                ( pi ¹ 0 ) ,
для которых выполнены равенства

     n

    åa q
     j =1
             ij
                      0
                      j   =n ;


    А в оптимальной смешанной стратегии q 0 второго игрока
смешиваются только те стратегии B j , для которых выполнены
равенства
     m

    åa
    i= 1
             ij   pi0 = n .


    Кроме того, справедливы равенства:

                              m                                  m
    n = min å aij pi0                     = min å aij pi
                                         max                                      =
                  j                       p           j
                          i =1                                i =1
                                  n                       n
                                                                              .          (2.13)
    = min max å aij q j = max å aij q                                     0
                                                                          j
             q            i                   i
                                  j =1                    j =1



                                                                     26

Страницы