Основы теории игр. Садовин H.C - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МарГУ | Йошкар-Ола

Составители: 

Рубрика: 

28
Откуда получаем следующее решение матричной игры:
( )
( )
( )
0
22 21
1
11 22 12 21
00
11 12
21
11 22 12 21
00
11 22 12 21
11 1 21 2
11 22 12 21
,
1,
.
n
ì
-
=
ï
+-+
ï
ï
-
ï
=-=
í
+-+
ï
ï
-
ï=+=
+-+
ï
î
aa
p
aa aa
aa
pp
aa aa
aa aa
ap ap
aa aa
(2.15)
Вычислив оптимальное значение
n
, можем вычислить и оп-
тимальную смешанную стратегию второго игрока из условия
111 122
+=
aqaqv
, или
(
)
111121
1
+ -=
aqa qv
. А именно:
0 00
12 11
1 21
, 1
--
== -=
--
va av
q qq
aa aa
, (2.15')
при
11 12
¹
aa
.
Эту задачу можно решить и графически, учитывая, что реше-
ние системы (2.14) представляет собой геометрически точку
пересечения двух прямых на плоскости
(
)
1
,
n
p или
(
)
1
1,
n
- p .
Приведем алгоритм геометрического способа решения игры
2×2:
1. На оси абсцисс откладываем отрезок единичной длины
[
]
1
0, 1
=Îpp .
2. На оси ординат откладываем выигрышы при стратегии
2
A
, а на прямой
1
=
p
— выигрыши при стратегии
1
A
.
3. Строим стратегии, проходящие через точки:
а)
(
)
21
0,
a
и
(
)
11
1,
a
;
б)
(
)
22
0,
a
и
(
)
12
1,
a
.
4. Находим точку пересечения прямых, которая и дает
решение матричной игры
(
)
0
1
,
pv
.
   Откуда получаем следующее решение матричной игры:

    ì 0            a22 - a21
    ï p1 =                            ,
    ï       a11 + a22 - ( a12 + a21 )
    ïï                        a11 - a12
     í p2 = 1 - p1 =
        0        0
                                                ,            (2.15)
     ï                a11 + a22 - ( a12 + a21 )
     ï                            a11a22 - a12 a21
     ïn a11=p10 + a21 p20 =                            .
     ïî                      a11 + a22 - ( a12 + a21 )

    Вычислив оптимальное значение n , можем вычислить и оп-
тимальную смешанную стратегию второго игрока из условия
a11q1 + a12 q2 = v , или a11q1 + a12 (1 - q1 ) = v . А именно:

         v - a12                       a -v
    q10 = =       , q20      1 - q10 =11        ,           (2.15')
        a11 - a12                     a11 - a12

при a11 ¹ a12 .
     Эту задачу можно решить и графически, учитывая, что реше-
ние системы (2.14) представляет собой геометрически точку
пересечения двух прямых на плоскости ( p1 , n ) или (1 - p1 , n ) .
     Приведем алгоритм геометрического способа решения игры
2×2:
     1. На оси абсцисс откладываем отрезок единичной длины
 p1 = p Î [ 0, 1] .
     2. На оси ординат откладываем выигрышы при стратегии
A2 , а на прямой p = 1 — выигрыши при стратегии A1 .
     3. Строим стратегии, проходящие через точки:
     а) ( 0, a21 ) и (1, a11 ) ;
   б) ( 0, a22 ) и (1, a12 ) .
   4. Находим точку пересечения прямых, которая и дает
решение матричной игры ( p10 , v ) .

                                         28

Страницы