Основы теории игр. Садовин H.C - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МарГУ | Йошкар-Ола

Составители: 

Рубрика: 

58
Будем говорить, что пара векторов
(
)
000
1
,,
m
ppp
= K и
(
)
000
1
,,
n
= K определяют равновесную ситуацию, если при лю-
бых
p
и
q
, удовлетворяющих условиям
1
i
p
=
å
,
1
i
q
=
å
,
10
£
£
ji
q,p , справедливы неравенства:
(
)
(
)
(
)
(
)
0 00 0 00
11 22
, , , , ,
H pq H pq H pq H pq
££.(3.3)
Неравенства (3.3) означают, что если игрок отклонится
от равновесной ситуации
(
)
00
,
pq
, то его выигрыш может только
уменьшиться.
На вопрос о существовании ситуации равновесия отвечает
следующая теорема.
Теорема 3.1. (Дж. Нэш). Всякая биматричная игра имеет хотя
бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных
стратегиях.
Остается разрешить проблему нахождения этой ситуации
равновесия.
3.2. Биматричные игры 2×2
Рассмотрим биматричную игру
22
´
:
11 12
21 22
aa
A
aa
æö
=
ç÷
èø
,
11 12
21 22
bb
B
bb
æö
=
ç÷
èø
,
с вероятностями
1
pp
=
,
2
1
pp
=-
,
1
qq
=
,
2
1
qq
=-
.
Вычислим средние выигрыши игроков
(
)
( ) ( ) ( )( )
1
11 12 21 22
,
1 1 1 1,
H pq
apqap q a pqa p q
=
= + -+-+ --
(3.4)
    Будем говорить, что пара векторов                              p0 =       ( p ,K, p )
                                                                                0
                                                                                1
                                                                                      0
                                                                                      m         и
q 0 = ( q10 ,K, qn0 ) определяют равновесную ситуацию, если при лю-
бых p и q , удовлетворяющих условиям                              åp      i   = 1,   åq   i   = 1,
0 £ pi , q j £ 1 , справедливы неравенства:

    H1 ( p, q 0 ) £ H1 ( p 0 , q 0 ) ,   H 2 ( p0 , q ) £ H 2 ( p0 , q0 ) .               (3.3)

    Неравенства (3.3) означают, что если игрок отклонится
от равновесной ситуации ( p 0 , q 0 ) , то его выигрыш может только
уменьшиться.
    На вопрос о существовании ситуации равновесия отвечает
следующая теорема.
    Теорема 3.1. (Дж. Нэш). Всякая биматричная игра имеет хотя
бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных
стратегиях.
    Остается разрешить проблему нахождения этой ситуации
равновесия.


                         3.2. Биматричные игры 2×2

    Рассмотрим биматричную игру 2 ´ 2 :

      æ a11       a12 ö     æ b11 b12 ö
    A=ç               ÷, B =ç         ÷,
      è a21       a22 ø     è b21 b22 ø

с вероятностями p1 = p , p2 = 1 - p , q1 = q , q2 = 1 - q .
    Вычислим средние выигрыши игроков

    H 1 ( p, q ) =
                                                                                          (3.4)
    = a11 pq + a12 p (1 - q ) + a21 (1 - p ) q + a22 (1 - p )(1 - q ) ,

                                             58

Страницы