Уравнения математической физики (пространства Соболева). Салехов Л.Г - 4 стр.

  dOKAZATELXSTWO.    pUSTX (uj )j2N | POSLEDOWATELXNOSTX kOI PO
                                                       2
TOPOLOGII H (). tOGDA DLQ L@BOGO MULXTIINDEKSA  N, TAKOGO, ^TO
           k
jj 6 k, POSLEDOWATELXNOSTX
                               (Duj )j2N
ESTX POSLEDOWATELXNOSTX kOI PO TOPOLOGII L2(). nO PROSTRANSTWO
L2(), PO IZWESTNOJ TEOREME rISSA-fIERA, QWLQETSQ POLNYM, PO\TOMU
POSLEDOWATELXNOSTX (uj )j2N SHODITSQ K \LEMENTU u 2 L2() PO TOPO-
LOGII L2(). aNALOGI^NO, DLQ L@BOGO  2 Nn , TAKOGO, ^TO jj 6 k,
POSLEDOWATELXNOSTX (Duj )j2N SHODITSQ K \LEMENTU W 2 L2() PO TO-
POLOGII L2().
    dALEE, IZWESTNO, ^TO TOPOLOGIQ PROSTRANSTWA L2() BOLEE TONKAQ
(SILXNEE), ^EM SLABAQ DUALXNAQ TOPOLOGIQ, INDUCIRUEMAQ NA L2() IZ
D0 (). pO\TOMU POSLEDOWATELXNOSTX (uj )j2N SHODITSQ K u I PO TOPOLOGII
D0 (). nAPOMNIM, ^TO D0 () OZNA^AET PROSTRANSTWO D0 (), SNABVENNOE
SLABOJ DUALXNOJ TOPOLOGIEJ. dALEE, OPERATOR D QWLQETSQ NEPRERYW-
NYM IZ D0 () W D0 (), PO\TOMU (Duj )j2N SHODITSQ K Du PO TOPOLOGII
D0 (). nO, TAK KAK TOPOLOGIQ W D0 () QWLQETSQ OTDELIMOJ (HAUSDORFO-
WOJ), TO OTS@DA WYTEKAET, ^TO W = Du  2 Nn  jj 6 k. iTAK, OKON-
^ATELXNO, DLQ L@BOGO  2 Nn TAKOGO, ^TO jj 6 k, POSLEDOWATELXNOSTX
(Duj )2N SHODITSQ K Du 2 L2() PO TOPOLOGII L2() INA^E GOWORQ,
POSLEDOWATELXNOSTX (uj )j2N SHODITSQ K u PO TOPOLOGII PROSTRANSTWA
H k ().
    c) pLOTNOSTX D(Rn) W H k (Rn).
    tEOREMA. pROSTRANSTWO D(Rn), RASSMATRIWAEMOE KAK PODPROST-
RANSTWO H k (Rn), QWLQETSQ PLOTNYM W H k (Rn), TO ESTX 8u 2 H k (Rn)
I 8" > 0 SU]ESTWUET '" 2 D(Rn) TAKOE, ^TO supp '"  (supp u)" I
k'" ; ukk 6 ", GDE (supp u)" ESTX "-OKRESTNOSTX DLQ supp u.
    dOKAZATELXSTWO. oNO PROWODITSQ S POMO]X@ SREZKI I REGULQRI-
ZACII.
    1) sREZKA. pOKAVEM, ^TO H k (Rn) \ E 0(Rn) PLOTNO W H k (Rn). rAS-
SMOTRIM USEKA@]U@ POSLEDOWATELXNOSTX ( j )  D(Rn), TO ESTX 0 6
 j (x) 6 1 x 2 R  j = 1 NA OKRESTNOSTI j , GDE SEMEJSTWO (j ) IS-
                  n
^ERPYWAET Rn. tAKAQ POSLEDOWATELXNOSTX SU]ESTWUET W SILU LEMMY OB
OTDELIMOSTI TIPA uRYSONA. tOGDA 8u 2 H k (Rn) I 8j 2 N FUNKCIQ uj =
u j QWLQETSQ \LEMENTOM IZ H k (Rn) \ E 0(Rn), PRI^EM supp uj  supp u.
pOKAVEM, ^TO u ESTX PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI (uj )j2N PO TOPOLOGII
                                   4