Уравнения математической физики (пространства Соболева). Салехов Л.Г - 6 стр.

    N.B. iZ DOKAZANNOGO, W ^ASTNOSTI, SLEDUET, ^TO ORTOGONALXNOE DO-
POLNENIE DLQ H00() W H 0() ESTX NULX INA^E GOWORQ, D() PLOTNO W
H 0() = L2().
    30). pROSTRANSTWA H ;k () k 2 N.
    a) oPREDELENIE. dUALXNOE (SOPRQVENNOE) PROSTRANSTWO K PRO-
STRANSTWU H0k () NAZYWA@T PROSTRANSTWOM H ;k ().
    iZWESTNO, ^TO KOGDA PROSTRANSTWO X NORMIROWANO, TO SOPRQVEN-
NOE (DUALXNOE) K NEMU PROSTRANSTWO X 0 POLNO. pOD^ERKNEM, ^TO \TO
UTWERVDENIE SPRAWEDLIWO NEZAWISIMO OT TOGO, POLNO ILI NET PROSTRAN-
STWO X (SM. 2], STR. 172 { 173).
    tEPERX SNABDIM PROSTRANSTWO H ;k () NORMOJ. pUSTX L 2 H ;k ().
tOGDA NORMA kLk;k := sup fj hL ui j, GDE u 2 H0k () TAKAQ, ^TO kukk 6
1g. pO\TOMU H ;k () STANOWITSQ POLNYM NORMIROWANNYM PROSTRANST-
WOM, TO ESTX BANAHOWYM PROSTRANSTWOM.
    tAK KAK WLOVENIE D() W H0k () NEPRERYWNO I PLOTNO, TO W SILU TE-
OREMY O KANONI^ESKOM WLOVENII DUALXNYH PROSTRANSTW 4], H ;k () 
D0 (). nAPOMNIM TAKVE, ^TO DLQ TOGO, ^TOBY OBOB]ENNAQ FUNKCIQ T
BYLA \LEMENTOM IZ H ;k (), NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY ONA BYLA
NEPRERYWNA NA D() PO TOPOLOGII, INDUCIROWANNOJ IZ H k ().
    b) tEOREMA OB IZOMORFIZME. oPERATOR
                               X
                                      (;1)jjD2
                              jj6k

OTOBRAVAET H0k () NA H ;k () I QWLQETSQ IZOMETRI^ESKIM IZOMOR-
FIZMOM (GOWORQT E]E KANONI^ESKIM) H0k () NA H ;k ().
  dOKAZATELXSTWO. pUSTX g 2 H k (). pOLOVIM
                            X jj 2
                       T = (;1) D g:
                                jj6k

pOKAVEM, ^TO T ESTX \LEMENT IZ H ;k (). dLQ L@BOGO ' IZ D() IMEEM:
                              X
                   hT 'i =           (D'jDg) = ('jg)k :
                              jj6k
sLEDOWATELXNO, LINEJNYJ FUNKCIONAL T NEPRERYWEN NA D(), SNAB-
VENNOM TOPOLOGIEJ IZ H k (). a TOGDA T 2 H ;k () I, KROME TOGO,
hT ui = (ujg)k  8u 2 H0k (), TO ESTX kT k;k = kgkk , ESLI g 2 H0k ().
                                         6