Уравнения математической физики (пространства Соболева). Салехов Л.Г - 5 стр.

H k (Rn). dEJSTWITELXNO, W SILU TEOREMY lEBEGA O DOMINIRU@]EJ SHO-
DIMOSTI, POSLEDOWATELXNOSTX (uj )j2N SHODITSQ K u PO TOPOLOGII L2(Rn).
dALEE,
                 @ (u ) = u @ j + @u  j = 1 2 : : :  n
                @x j
                  i         @x @x ji          i
I TA VE TEOREMA lEBEGA WLE^ET SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI
(@uj =@xi )j2N K @u=@xi PO TOPOLOGII L2(Rn). aNALOGI^NO DOKAZYWAET-
SQ, ^TO DLQ L@BOGO  2 Nn , TAKOGO, ^TO jj 6 k, POSLEDOWATELXNOSTX
(Duj )j2N SHODITSQ K Du PO TOPOLOGII L2(Rn).
   2) rEGULQRIZACIQ. pOKAVEM, ^TO D(Rn) PLOTNO W H k (Rn) \E 0(Rn).
pUSTX ( j )j2N | REGULQRIZU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX W D(Rn). tOGDA
DLQ WSQKOJ u 2 H k (Rn) \ E 0 (Rn) RASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX EE RE-
GULQRIZACIJ (uj = j  u). w SILU TEOREMY O REGULQRIZACII, uj 2 D(Rn)
I supp uj  (supp u)"j , PRI^EM POSLEDOWATELXNOSTX (uj )j2N SHODITSQ K u
PO TOPOLOGII L2(Rn). a TAK KAK Duj = j  Du (jj 6 k) TO POSLEDO-
WATELXNOSTX D(uj )j2N SHODITSQ K Du PO TOPOLOGII L2(Rn).
  20) pROSTRANSTWA H0k ().
  a) oPREDELENIE. pROSTRANSTWOM H0k () NAZYWAETSQ ZAMYKANIE
D() W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H k ().
  sNABVENNOE PREDGILXBERTOWOJ STRUKTUROJ, INDUCIROWANNOJ IZ
H (), PROSTRANSTWO H0k () STANOWITSQ, O^EWIDNO, GILXBERTOWYM.
 k
  b) oRTOGONALXNOE DOPOLNENIE DLQ H0k () W H k ().
  tEOREMA. oRTOGONALXNOE DOPOLNENIE DLQ H0k () W H k () ESTX MNO-
VESTWO TAKIH FUNKCIJ IZ H k (), KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@-
]EMU URAWNENI@ W ^ASTNYH PROIZWODNYH:
                      X jj 2
                         (;1) D u = 0:
                           jj6k

  dOKAZATELXSTWO. |LEMENT u 2 H k () ORTOGONALEN K H0k (), ESLI
I TOLXKO ESLI u ORTOGONALEN K D(), W SILU PLOTNOSTI D() W H0k ().
nO DLQ L@BOGO ' 2 D() I L@BOGO u 2 H k () IMEEM:
                   X                                   XD                          E
  (uj')k = 0 ()                j
                       (Du D') = 0              ()           (;   1)jjD2u '       =0
                  jj6k                                jj6k
                               X
                          ()           (;1)jjD2u = 0:
                               jj6k

                                          5