Уравнения математической физики (краевые задачи в пространствах Соболева). Салехов Л.Г - 36 стр.

tOGDA SISTEMA (j =!j )j2N OBRAZUET ORTONORMIROWANNYJ BAZIS W H01().
wOZXMEM EGO DLQ POSTROENIQ REENIQ METODOM gALERKINA. w DANNOM
SLU^AE SISTEMA DLQ gmj (t) ZAPISYWAETSQ W WIDE:
         8 g (t) = 0
         < mj00                                           ESLI t < 0
         : gmj (t) + !j gmj (t) = 0 j = 0 1 : : :  m ESLI t > 0
                      2

             gmj (0) = mj  gmj0 (0) = mj



                           N
wOZXMEM W KA^ESTWE am I bm ORTOGONALXNYE PROEKCII W H DLQ a I b SO-
OTWETSTWENNO NA PODPROSTRANSTWO, POROVDENNOE f0 1 : : :  mg. tOGDA
DLQ L@BOGO m 2 POLU^IM:
        mj = (amjj ) = (ajj ) (KOTOROE POLOVIM RAWNYM j ),
         mj = (bmjj ) = (bjj ) (KOTOROE POLOVIM RAWNYM j ).
nO TOGDA gmj (t) NE ZAWISQT OT m, TAK KAK
                  gmj (t) = j cos !j t + !j sin !j t ( gj (t)):
                                             j
sLEDOWATELXNO, DLQ t > 0 IMEEM:
                          X
               u(t x) =         j cos !j t + !j sin !j t j (x):
                           j 2N                  j
   rANEE, (SM. DOKAZATELXSTWO TEOREMY EDINSTWENNOSTI) MY DOKAZALI,
^TO RQD SHODITSQ K REENI@ PO TOPOLOGII L2(]0 T  H01 ()), I ^TO RQD

      RR
IZ PROIZWODNYH PO t SHODITSQ PO TOPOLOGII L2(]0 T ).
   sEJ^AS POKAVEM, ^TO RQD SHODITSQ K REENI@ PO TOPOLOGII
CB ( + H01()), A RQD IZ PROIZWODNYH PO t SHODITSQ PO TOPOLOGII
CB ( + H ).
   pREVDE WSEGO ZAMETIM, ^TO
           X 2
                jj j = kbk2 < +1 X j!j j j2 = kak2V < +1:
                j 2N                                 j 2N
nO DLQ WSQKOGO t > 0 IMEEM:
                                X
                                m                                                X
                                                                                 m
kum(t) ; up(t)kV =     2
                                        j!j j cos !j t + j sin !j j2
                                                                         6            (j!j j j + jj j)2:
                               j =p+1                                        j =p+1
tAKVE
                               X
                               m                                                 X
                                                                                 m
k m(t);
 u0        u0 (t)
            p     kH =
                    2
                                        j;!j j sin !j t+j cos !j tj    2
                                                                             6            (j!j j j + jj j)2:
                               j =p+1                                            j =p+1
                                                     36