Уравнения математической физики (краевые задачи в пространствах Соболева). Салехов Л.Г - 34 стр.

supp ( R )n    R
(A  F )  (E  B )  (fE n Ag  fF n B g) = E  F . dALEE, TAK KAK
                 ;  f0g, TO POLU^AEM:
                 supp(Uj00 ; Uj ) (   R   RfRnRR gfR n
                                           @ )   ;
                                                          n

A \TO OZNA^AET, ^TO Uj00 ; Uj = 0 NA MNOVESTWE        ;     n @ g. a
ZATEM, TO^NO TAK VE, KAK PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY EDINSTWENNOSTI,
POKAZYWA@T, ^TO DLQ L@BOGO T > 0 POSLEDOWATELXNOSTX (uj )j2N SHODIT-
SQ K u, POSLEDOWATELXNOSTX (@iuj )j2N SHODITSQ K @iu (i = 1 2 : : :  n) I
POSLEDOWATELXNOSTX (u0j )j2N SHODITSQ K u0 W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE
L2(]0 T ).
  nO IZ URAWNENIQ u00j (t x) ; uj (t x) = 0 NA ]0 1 WYWODITSQ URAW-
NENIE:
                     d 0 2 d
                     dt
                        k u j (t)k + kuj (t)k2V = 0
                                    dt
NA ]0 +1. oTKUDA SLEDUET, ^TO ku0j (t)k2 + kuj (k2V ) ESTX KONSTANTA NA
]0 +1. pUSTX j ! +1 TOGDA WIDIM, ^TO ku0 (t)k2 + ku(t)k2 ESTX KON-
STANTA DLQ PO^TI WSEH t 2]0 T  I, SLEDOWATELXNO, DLQ PO^TI WSEH t 2
]0 +1.
    b) pOKAVEM, ^TO DLQ PO^TI WSEH t > 0 IMEEM:
                     ku(t)kV + ku0(t)k > kakV + kbk :
                          2            2      2       2


    dEJSTWITELXNO, SU]ESTWUET MNOVESTWO N MERY NULX, TAKOE, ^TO NA
]0 +1nN IMEEM: ku(t)k2V + ku0 (t)k2 = const: pUSTX (tn)n2N POSLEDO-
WATELXNOSTX \LEMENTOW IZ ]0 +1nN , SHODQ]AQSQ K 0. tAK KAK V I
H | GILXBERTOWY PROSTRANSTWA, TO MOVNO IZWLE^X PODPOSLEDOWATELX-
NOSTX (t ) 2N TAKU@, ^TO u(t ) SHODITSQ PO OSLABLENNOJ TOPOLOGII V
K  I u0(t ) SHODITSQ PO OSLABLENNOJ TOPOLOGII H K  . nO UVE BYLO
POKAZANO, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX u(t ) SHODITSQ K a PO TOPOLOGII H I
POSLEDOWATELXNOSTX u0(t ) SHODITSQ K b PO TOPOLOGII H ;1 ().
    tAK KAK WSE \TI TOPOLOGII SILXNEE, ^EM SLABAQ DUALXNAQ TOPOLOGIQ
D (), TO WYWODIM, ^TO  = a  = b.
  0
    nO, KAK IZWESTNO, ESLI (xn)n2N ! x SLABO W GILXBERTOWOM PROSTRAN-
STWE X I ESLI kxnk 6 c, TO kxk 6 c.
    a TOGDA
               kk2V + kk2 6 ku(t )k2V + ku0(t )k2 = const:
                                    34