Уравнения математической физики (краевые задачи в пространствах Соболева). Салехов Л.Г - 33 стр.

   2) NA OTKRYTOM MNOVESTWE ]0 +1
                                      Z1
                       u0j (t x) =        j (t ; s)u0(s x)ds
                                      0

    3) W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA OTKRYTOM MNOVESTWE
]0 +1
                                    u00j ; uj = 0:
    pOKAVEM 1). iMEEM:
       hgrad uj  ' i = ;huj  ' grad i = ;hu  j  ' grad i =
                                                         R
                                            
             = ; u j  (' grad ) = grad u j  '  =
                                                                
                  = hgrad u  j  ' i  ' 2 D( )  2 D():
    pOKAVEM 2). pUSTX
                                     u0 ESLI t > 0

                                      R
                             w = 0 ESLI t 6 0


  R R
ESTX FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA . pOLOVIM wj ( x) = j w( x) x 2
. tOGDA (u0j ; wj )( x) = j  (u0 ; w)( x)]. tAK KAK supp j SODERVITSQ

R
W ; I supp fu0 ; w( x)g SODERVITSQ W f0g, TO supp f(u0j ; wj )( x)g
SODERVITSQ W ; \TO OZNA^AET, ^TO u0j ( x) = wj ( x) NA DOPOLNENII K
  ; , TO ESTX
                                                    Z1
         wj ( x) = u0j ( x) = j  w( x) =             j (t ; s)u0(s x)ds:
                                                     0

   pOKAVEM 3). oBOZNA^IM ^EREZ U (SOOTWETSTWENNO Uj ) PRODOLVENIE
NULEM DLQ u (SOOTWETSTWENNO uj ) WO WNE . tOGDA, KAK UVE BYLO POKA-
ZANO,
                             Uj = U  (j R ):          n



oTKUDA WYWODIM:

                                           RR
                 Uj00 ; Uj = (U 00 ; U )  (j Rn ):
                                                                RR
nO U 00 ; U = 0 NA MNOVESTWE f n f0gg  f n n g SLEDOWATELXNO,
NOSITELX U 00 ; U WKL@^EN W (  @ )  (f0g  n). zAMETIM, ^TO
                                            33