Уравнения математической физики (краевые задачи в пространствах Соболева). Салехов Л.Г - 32 стр.

oTKUDA               0ZT                                      1
                                           ZT
                 lim
                m!1
                     @   k u ; u m k2
                                    V dt +    k u 0 ; u0 k2 dtA = 0:
                                                       m
                         0                            0

iNA^E GOWORQ, um ! u PO NORME PROSTRANSTWA L2(]0 T  V ) I u0m ! u0
PO NORME PROSTRANSTWA L2(]0 T ).
  60) sOHRANENIE \NERGII.
  tEOREMA. pUSTX u | REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I. tOGDA DLQ
PO^TI WSEH t > 0 IMEEM:
                    ku(t)kV + ku0(t)k = kakV + kbk :
                                 2                2       2       2


  N.B. ~ISLO ku0 (t)k INTERPRETIRUETSQ KAK KINETI^ESKAQ \NERGIQ WOL-
                             2

NY u W MOMENT WREMENI t, A ^ISLO ku(t)kV INTERPRETIRUETSQ KAK EE
                                                          2

POTENCIALXNAQ \NERGIQ. tAKIM OBRAZOM, POLNAQ \NERGIQ WOLNY SOHRA-

                R                                                             R
NQETSQ W TE^ENII WREMENI.
   dOKAZATELXSTWO. sNA^ALA ZAMETIM, ^TO ESLI u ESTX NEPRERYWNAQ
FUNKCIQ IZ + W H01(), A u0 ESTX FUNKCIQ NEPRERYWNAQ IZ + W H , I
ESLI u00 ESTX FUNKCIQ, TO \TA TEOREMA DOKAZYWAETSQ PROSTO: DOSTATO^NO
UMNOVITX URAWNENIE u00 ; u = 0 NA u0 I PROINTEGRIROWATX PO .
   dOKAZATELXSTWO VE W OB]EM SLU^AE O^ENX KROPOTLIWOE.
   a) nA^NEM S DOKAZATELXSTWA TOGO ^TO ku0 (t)k2 + ku(t)k2V ESTX KON

                             R
                                                      ,                                      -

STANTA DLQ PO^TI WSEH t > 0: dLQ \TOGO ISPOLXZUEM REGULQRIZACI@
(KAK PRI DOKAZATELXSTWE EDINSTWENNOSTI REENIQ).
   pUSTX (j )j2N D( ) | REGULQRIZU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX. mOV-
NO WSEGDA PREDPOLAGATX, ^TO supp j ;1 0]. pOLOVIM

  uj (t x) =
                Z
                R
                    j (s)u(t ; s x)ds =
                                              Z1
                                              0
                                                   j (t ; s)u(s x)ds (t x) 2   R   



                                        R
TO ESTX uj ( x) = j  u( x) x 2 .
   pOKAVEM, ^TO
   1) NA OTKRYTOM MNOVESTWE  
                                        Z1
                     grad uj (t x) =        j (t ; s)grad u(s x)ds
                                        0

                                              32