Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

,
0
поэтому
формула
начальным
отклонением, определяемым формулой (8). (стр 43)
V :
½
x + at < −1,
x − at < −1,
V I :
½
−1 ≤ x − at ≤ 1,
−1 ≤ x + at ≤ 1.
Рис. 1
Таким образом, как видно на рисунке 1, плоскость разбивается
на области I, V , куда для данного момента отклонение еще не дошло;
область III, где отклонения уже прошли; области II, IV, V I, где име-
ют место отклонения. Прямые x − at = 1, x − at = −1; x + at = −1,
x + at = 1 представляют соответственно передний и задний фронт
прямой волны U
1
(x − at) и обратной волны U
2
(x + at).
7.5. Решим задачу (7.4), используя пространственно-временную
интерпретацию, то есть используя формулу (4). На основании этой
формулы имеем (рис. 1)
U(x, t) = (0 + 0)/2 = 0, (x, t) ∈ I, III, V,
U(x, t) = (1 + 0)/2 = 1/2, (x, t) ∈ II,
U(x, t) = (0 + 1)/2 = 1/2, (x, t) ∈ IV,
U(x, t) = (1 + 1)/2 = 1, (x, t) ∈ V I.
7.6. Бесконечная струна выводится из положения равновесия
чальные скорости отсутствуют, начертить фор-
ных графиках) для моментов времени
t
k
=
kc/(4a), k =
1, 5; a -
посто
янная из
уравнения колебаний струны.
Р е ш е н и е. Так как начальные скорости отсутствуют,
то мы имеем следующую задачу:
U
tt
= a
2
U
xx
,
½
U(x, 0) = ϕ(x)
U
t
(x, 0) = 0,
где функция ϕ(x) определяется формулой (8). В данном случае ψ(x) ≡
(3)
принимает вид:
37
Предполагая, что на
отдель
му струны (на
                ½                               ½
                    x + at < −1,                    −1 ≤ x − at ≤ 1,
          V :       x − at < −1,         VI :       −1 ≤ x + at ≤ 1.




                                      Рис. 1
     Таким образом, как видно на рисунке 1, плоскость разбивается
на области I, V , куда для данного момента отклонение еще не дошло;
область III, где отклонения уже прошли; области II, IV, V I, где име-
ют место отклонения. Прямые x − at = 1, x − at = −1; x + at = −1,
x + at = 1 представляют соответственно передний и задний фронт
прямой волны U1 (x − at) и обратной волны U2 (x + at).
     7.5. Решим задачу (7.4), используя пространственно-временную
интерпретацию, то есть используя формулу (4). На основании этой
формулы имеем (рис. 1)
        U (x, t) = (0 + 0)/2 = 0,                     (x, t) ∈ I, III, V,
        U (x, t) = (1 + 0)/2 = 1/2,                   (x, t) ∈ II,
        U (x, t) = (0 + 1)/2 = 1/2,                   (x, t) ∈ IV,
        U (x, t) = (1 + 1)/2 = 1,                     (x, t) ∈ V I.
     7.6. Бесконечная струна выводится из положения равновесия
начальным отклонением, определяемым формулой (8). (стр 43)
Предполагая, что начальные скорости отсутствуют, начертить фор-
му струны (на отдель ных графиках) для моментов времени tk =
kc/(4a), k = 1, 5; a - посто янная из уравнения колебаний струны.
     Р е ш е н и е. Так как начальные скорости отсутствуют,
то мы имеем следующую задачу:

                                   Utt = a2 Uxx ,
                             ½
                                 U (x, 0) = ϕ(x)
                                 Ut (x, 0) = 0,
где функция ϕ(x) определяется формулой (8). В данном случае ψ(x) ≡ 0 ,
поэтому формула (3) принимает вид:

                                        37

Страницы