Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(x,
t) =
[sin(x − at) + sin(x + at)]/2 = sin x cos at.
Здесь U
1
(x − at) = sin(x − at)/2 - прямая волна, а
U
2
(x + at) = sin(x + at)/2
- обратная волна.
7.4. Найти решение уравнения (1) при начальных условиях
½
U(x, 0) = ϕ(x),
U
t
(x, 0) = 0,
− ∞ < x < ∞,
где
ϕ(x) =
(
0, x < −1,
1, −1 ≤ x ≤ 1,
0, x > 1.
(6)
Решение этой задачи на основании формулы (3) записывается в
следующем виде
U(x, t) = [ϕ(x + at) + ϕ(x − at)]/2,
так какψ ≡ 0.
Таким образом, для того чтобы записать решение задачи, нам
необходимо найти функции ϕ(x + at) и ϕ(x − at). В силу (6) имеем:
ϕ(x+at) =
(
0, x + at < −1,
1, −1 ≤ x + at ≤ 1,
0, x + at > 1.
ϕ(x−at) =
(
0, x − at < −1,
1, −1 ≤ x − at ≤ 1,
0, x − at > 1.
Если фазовую плоскость (x, t) c помощью характеристик (x ±
at = ±1), проведенных через концы отрезка [−1, 1], разбить на области
I −V I, то по формуле Даламбера можно записать решения в каждой
из этих областей (см. рис. 1.)
U(x, t) = (0 + 0)/2 = 0, (x, t) ∈ I,
U(x, t) = (1 + 0)/2 = 1/2, (x, t) ∈ II,
U(x, t) = 0, (x, t) ∈ III,
U(x, t) = 1/2, (x, t) ∈ IV,
U(x, t) = 0, (x, t) ∈ V,
U(x, t) = 1, (x, t) ∈ V I,
где области I − V I определяются следующим образом:
I :
½
x − at > 1,
x + at > 1,
II :
½
−1 ≤ x − at ≤ 1,
x + at > 1,
III :
½
x − at < −1,
x + at > 1,
IV :
½
−1 ≤ x + at ≤ 1,
x − at < −1,
36
     U (x, t) = [sin(x − at) + sin(x + at)]/2 = sin x cos at.
     Здесь U1 (x − at) = sin(x − at)/2 - прямая волна, а
                         U2 (x + at) = sin(x + at)/2
- обратная волна.
      7.4. Найти решение уравнения (1) при начальных условиях
                ½
                  U (x, 0) = ϕ(x),
                  Ut (x, 0) = 0,        − ∞ < x < ∞,
где                           (
                                 0, x < −1,
                      ϕ(x) = 1, −1 ≤ x ≤ 1,                   (6)
                                 0, x > 1.
     Решение этой задачи на основании формулы (3) записывается в
следующем виде

                     U (x, t) = [ϕ(x + at) + ϕ(x − at)]/2,
так какψ ≡ 0.
     Таким образом, для того чтобы записать решение задачи, нам
необходимо найти функции ϕ(x + at) и ϕ(x − at). В силу (6) имеем:
          (                                (
             0, x + at < −1,                  0, x − at < −1,
ϕ(x+at) = 1, −1 ≤ x + at ≤ 1, ϕ(x−at) = 1, −1 ≤ x − at ≤ 1,
             0, x + at > 1.                   0, x − at > 1.
      Если фазовую плоскость (x, t) c помощью характеристик (x ±
at = ±1), проведенных через концы отрезка [−1, 1], разбить на области
I − V I, то по формуле Даламбера можно записать решения в каждой
из этих областей (см. рис. 1.)

                  U (x, t) = (0 + 0)/2 = 0, (x, t) ∈ I,
                U (x, t) = (1 + 0)/2 = 1/2, (x, t) ∈ II,
                        U (x, t) = 0, (x, t) ∈ III,
                       U (x, t) = 1/2, (x, t) ∈ IV,
                         U (x, t) = 0, (x, t) ∈ V,
                        U (x, t) = 1, (x, t) ∈ V I,
     где области I − V I определяются следующим образом:
              ½                           ½
                x − at > 1,                  −1 ≤ x − at ≤ 1,
           I : x + at > 1,          II : x + at > 1,

                 ½                             ½
                     x − at < −1,                  −1 ≤ x + at ≤ 1,
         III :       x + at > 1,        IV :       x − at < −1,

                                      36

Страницы