Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Случай
2. (Начальное
смещение равно нулю, начальная ско-
рость произвольна). Рассмотрим начальные условия вида
½
U(x, 0) = 0,
U
t
(x, 0) = ψ(x),
− ∞ < x < ∞.
Решение в этом случае имеет вид
U(x, t) =
1
2a
Z
x+at
x−at
ψ(ζ)d ζ
,
откуда
U(
x
0
, t
0
) =
1
2a
Z
x
0
+at
0
x
0
−at
0
ψ(ζ)d ζ
. (5)
Таким
образом, значение величины U в точке (x
0
, t
0
) можно интерпре-
тировать как интеграл от начальной скорости в пределах от x
0
− at
0
до x
0
+ at
0
.
З а д а ч и
7.1. Проверить, что прямая и обратная волны являются реше-
ниями уравнения колебаний струны.
У к а з а н и е. Использовать правило дифференцирования
сложной функции.
7.2. Найти первообразные функций:
а) f(x) =
(
0, x < 1,
b, 1 ≤ x ≤ 3,
0, x > 3.
б) f(x) =
(
0, x ≤ 0,
sin x, 0 ≤ x ≤ π,
0, x ≥ π.
в) f(x) =
(
0, x ≤ 1,
2(x − 1), 1 ≤ x ≤ 3,
0, x > 3.
Построить их графики.
Р е ш е н и е. В случае а) первообразную следует искать
в виде
F (x) =
Z
x
x
0
f(α)d α + C,
где x
0
— точка непрерывности подынтегральной функции. На интер-
вале (−∞, 1) первообразная равна
F (x) =
Z
x
x
0
0d α + C
1
=
Z
x
0
0d α + C
1
= C
1
,
34
     Случай 2. (Начальное смещение равно нулю, начальная ско-
рость произвольна). Рассмотрим начальные условия вида
              ½
                 U (x, 0) = 0,
                                    − ∞ < x < ∞.
                 Ut (x, 0) = ψ(x),
     Решение в этом случае имеет вид
                                  Z x+at
                                1
                    U (x, t) =           ψ(ζ)d ζ,
                               2a x−at
откуда                                    Z    x0 +at0
                                      1
                      U (x0 , t0 ) =                     ψ(ζ)d ζ.                     (5)
                                     2a       x0 −at0
Таким образом, значение величины U в точке (x0 , t0 ) можно интерпре-
тировать как интеграл от начальной скорости в пределах от x0 − at0
до x0 + at0 .

                              З а д а ч и

    7.1. Проверить, что прямая и обратная волны являются реше-
ниями уравнения колебаний струны.
    У к а з а н и е. Использовать правило дифференцирования
сложной функции.
    7.2. Найти первообразные функций:

               (                                              (
                   0, x < 1,                                      0,     x ≤ 0,
  а) f (x) =       b, 1 ≤ x ≤ 3,           б) f (x) =             sin x, 0 ≤ x ≤ π,
                   0, x > 3.                                      0,     x ≥ π.
                              (
                                   0,        x ≤ 1,
                   в) f (x) =      2(x − 1), 1 ≤ x ≤ 3,
                                   0,        x > 3.
     Построить их графики.
     Р е ш е н и е. В случае а) первообразную следует искать
в виде                     Z          x
                         F (x) =          f (α)d α + C,
                                    x0
где x0 — точка непрерывности подынтегральной функции. На интер-
вале (−∞, 1) первообразная равна
                     Z x             Z x
             F (x) =     0d α + C1 =     0d α + C1 = C1 ,
                         x0                       0



                                          34

Страницы