Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Выво
д: U = U
1
(x − at
) + U
2
(x + at) - сумма прямой и обратной
волны.
Из вышеизложенного получается следующий графический метод
построения профиля струны в любой момент времени t
0
. Строим кри-
вые U = U
1
(x) и U = U
2
(x), изображающие профиль (график) прямой
и обратной волны при t = 0, а затем, не изменяя их формы, передви-
гаем их одновременно со скоростью a вправо и влево соответственно.
Чтобы получить профиль струны при t = t
0
, нужно построить новый
график, у которого ордината при каждом значении x равнa алгебра-
ической сумме ординат при этом x двух передвинутых графиков при
t = t
0
, то есть сложить передвинутые графики.
Формула Даламбера помогает дать интерпретацию в плоскости
переменных x и t, то есть пространственно-временную интерпрета-
цию. Дадим интерпретацию формулы (3) для двух частных случаев.
Случай 1. (Начальное смещение отлично от нуля, начальная
скорость равна нулю).
Пусть начальные условия имеют вид
½
U(x, 0) = ϕ(x),
U
t
(x, 0) = 0,
− ∞
< x <
∞
.
Тогда по формуле Даламбера получаем
U(x, t) = [ϕ(x −at) + ϕ(x + at)]/2,
а значит,
U(x
0
, t
0
) = [ϕ(x
0
− at
0
) + ϕ(x
0
+ at
0
)]/2 (4)
Возьмем плоскость переменных x и t (фазовую плоскость). Ре-
шение U на основании (4) в точке (x
0
, t
0
) можно интерпретировать как
среднее значение смещений в точках (x
0
− at
0
) и (x
0
+ at
0
). Эти точ-
ки являются точками пересечения прямых (характеристик уравнения
(1)) x − at = x
0
− at
0
, x + at = x
0
+ at
0
с осью x.
33
.
       Вывод: U = U1 (x − at) + U2 (x + at) - сумма прямой и обратной
волны.
       Из вышеизложенного получается следующий графический метод
построения профиля струны в любой момент времени t0 . Строим кри-
вые U = U1 (x) и U = U2 (x), изображающие профиль (график) прямой
и обратной волны при t = 0, а затем, не изменяя их формы, передви-
гаем их одновременно со скоростью a вправо и влево соответственно.
Чтобы получить профиль струны при t = t0 , нужно построить новый
график, у которого ордината при каждом значении x равнa алгебра-
ической сумме ординат при этом x двух передвинутых графиков при
t = t0 , то есть сложить передвинутые графики.
       Формула Даламбера помогает дать интерпретацию в плоскости
переменных x и t, то есть пространственно-временную интерпрета-
цию. Дадим интерпретацию формулы (3) для двух частных случаев.
       Случай 1. (Начальное смещение отлично от нуля, начальная
скорость равна нулю).
       Пусть начальные условия имеют вид
                  ½
                    U (x, 0) = ϕ(x),
                                        − ∞ < x < ∞.
                    Ut (x, 0) = 0,

     Тогда по формуле Даламбера получаем
                 U (x, t) = [ϕ(x − at) + ϕ(x + at)]/2,
а значит,
               U (x0 , t0 ) = [ϕ(x0 − at0 ) + ϕ(x0 + at0 )]/2 .    (4)
      Возьмем плоскость переменных x и t (фазовую плоскость). Ре-
шение U на основании (4) в точке (x0 , t0 ) можно интерпретировать как
среднее значение смещений в точках (x0 − at0 ) и (x0 + at0 ). Эти точ-
ки являются точками пересечения прямых (характеристик уравнения
(1)) x − at = x0 − at0 , x + at = x0 + at0 с осью x.




                                     33

Страницы