Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

−
6.10. 2U
xx
−2U
y
y
+U
x
+U
y
= 0
, y > |x|, U|
y=x
= 1, U|
y=−x
=
(x + 1)e
x
.
О т в е т : U = e
x−y
2
[1
+ (
x − y)/2].
6.11. U
yy
= U
xx
, y > |x|, U|
y=x
= ϕ(x),0 ≤ x ≤ b, U|
y = x
= ψ(x),
−a ≤ x ≤ 0, ϕ(0) = ψ(0), 0 < a, b < ∞.
О т в е т : U = ϕ(
x+y
2
)
+ ψ(
x−y
2
) − ϕ(0).
З
А Н
Я Т И Е 7
Тема. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ. ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА.
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
На занятии 6 мы рассмотрели задачу Коши для уравнения коле-
баний струны
U
tt
= a
2
U
xx
(1
0
)
Задача ставилась следующим образом: найти функцию
U(x, t) ∈ C
2
[R
1
x
× (0, ∞)] ∩ C
1
[R
1
x
× , ∞)],
удовлетворяющую уравнению (1
0
) при (x, t) ∈ R
1
x
× (0, ∞) и удовле-
творяющую начальным условиям
½
U(x, 0) = ϕ(x),
U
t
(x, 0) = ψ(x),
x ∈ R
1
x
. (2)
Было показано, что если ϕ ∈ C
2
(R
1
x
), ψ ∈ C
1
(R
1
x
), то решение
задачи существует и единственно, и определяется формулой Даламбе-
ра
U(x, t) =
1
2
[ϕ(x − at)
+ ϕ(x + at
)] +
1
2a
Z
x+at
x−at
ψ(α )d α (3)
Между
тем, часто
приходится рассматривать задачи, в которых функ-
ции ϕ и ψ не удовлетворяют указанным условиям. В этом случае вво-
дят понятие обобщенного решения задачи (1), (2). Рассматривают вме-
сто функций ϕ и ψ последовательности сглаженных функций ϕ
n
, ψ
n
,
31
0
[
.
.
      6.10. 2Uxx − 2Uyy + Ux + Uy = 0, y > |x|, U |y=x = 1,               U |y=−x =
(x + 1)ex .
                       x−y
     Ответ : U = e      2    [1 + (x − y)/2].
    6.11. Uyy = Uxx , y > |x|, U |y=x = ϕ(x),0 ≤ x ≤ b, U | y = − x = ψ(x),
−a ≤ x ≤ 0, ϕ(0) = ψ(0), 0 < a, b < ∞.
     О т в е т : U = ϕ( x+y      x−y
                         2 ) + ψ( 2 ) − ϕ(0).




                     ЗАНЯТИЕ7
          Тема. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
       КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ. ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА.
        ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
     На занятии 6 мы рассмотрели задачу Коши для уравнения коле-
баний струны

                                   Utt = a2 Uxx .                              (10 )
     Задача ставилась следующим образом: найти функцию
              U (x, t) ∈ C 2 [Rx1 × (0, ∞)] ∩ C 1 [Rx1 × [ 0, ∞)],
удовлетворяющую уравнению (10 ) при (x, t) ∈ Rx1 × (0, ∞) и удовле-
творяющую начальным условиям
                  ½
                     U (x, 0) = ϕ(x),
                                      x ∈ Rx1 .                 (2)
                    Ut (x, 0) = ψ(x),
     Было показано, что если ϕ ∈ C 2 (Rx1 ), ψ ∈ C 1 (Rx1 ), то решение
задачи существует и единственно, и определяется формулой Даламбе-
ра

                                                       Z    x+at
                  1                           1
        U (x, t) = [ϕ(x − at) + ϕ(x + at)] +                       ψ(α)d α .    (3)
                  2                          2a            x−at



Между тем, частоприходится рассматривать задачи, в которых функ-
ции ϕ и ψ не удовлетворяют указанным условиям. В этом случае вво-
дят понятие обобщенного решения задачи (1), (2). Рассматривают вме-
сто функций ϕ и ψ последовательности сглаженных функций ϕn , ψn ,




                                        31

Страницы