Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

З
а д
а ч и
6.1. Задача Коши для уравнения колебаний струны. Найти
функцию U(x, y) ∈ C
2
R
1
x
× (0, ∞ ∩ R
1
x
× [0, ∞ ,
удовлетворяющую уравнению
U
yy
= a
2
U
xx
(5
0
)
в Ω = R
1
x
× (0, ∞) и начальным условиям
U|
y=0
= ϕ(x), U
y
|
y=0
= ψ(x), x ∈ R
1
x
(6)
причем ϕ ∈ C
2
, ψ ∈ C
1
. В данном случае Γ = ∂Ω = R
1
x
, направление
~
l совпадает с направлением оси y, и касательное направление к ∂Ω не
совпадает с характеристическим y0 = ±1/a. Общее решение уравнения
(5 ) (см.5.2.) имеет вид:
U = C
1
(x + ay) + C
2
(x − ay) (7)
Определим C
1
, C
2
так, чтобы удовлетворялись условия (6). Из
(7) находим
U
y
= aC
0
1
(x + ay) − aC
0
2
(x − ay) (8)
где C
0
1
, C
0
2
- производные по аргументам. Положим в (7) и (8) y = 0 и
учтем (6), тогда получим
C
1
(x) + C
2
(x) = ϕ(x), (9)
C
0
1
(x) − C
0
2
(x) =
1
a
ψ(x)
(10)
Интегрируя
(10) по x, имеем
C
1
(x) − C
2
(x) =
1
a
Z
x
x
0
ψ(α)dα (11)
Складывая
и вычит
ая (9) и (11), получим
C
1
(x) =
1
2
ϕ(x)
+
1
2a
Z
x
x
0
ψ(α)dα + C
/2 (12)
C
2
(x
) =
1
2
ϕ(x) −
1
2a
Z
x
x
0
ψ(α)dα −C
/2 (13)
По
дставляя (12) и (13) в (7), получаем формулу Даламбера, да-
ющую решение задачи
U(x, y) =
1
2
[ϕ(x + ay)
+ ϕ(x −ay)]
+
1
2a
Z
x+ay
x−ay
ψ(α)dα
29
C
1
{
)}
{
)}
+
C
0
,
.
.
,
.
.
                           З а д а ч и

     6.1. Задача Коши для уравнения колебаний струны. Найти
функцию U (x, y) ∈ C 2 { R x1 × (0, ∞)} ∩ C 1 {R1x × [0, ∞)} ,
удовлетворяющую уравнению
                               Uyy = a2 Uxx                    (50 )
в Ω = Rx1 × (0, ∞) и начальным условиям

                  U |y=0 = ϕ(x), Uy |y=0 = ψ(x), x ∈ Rx1           (6)
 причем ϕ ∈ C 2 , ψ ∈ C 1 . В данном случае Γ = ∂Ω = Rx1 , направление
~l совпадает с направлением оси y, и касательное направление к ∂Ω не
 совпадает с характеристическим y0 = ±1/a. Общее решение уравнения
 (50) (см.5.2.) имеет вид:
                     U = C1 (x + ay) + C2 (x − ay).                (7)
      Определим C1 , C2 так, чтобы удовлетворялись условия (6). Из
(7) находим
                 Uy = aC10 (x + ay) − aC20 (x − ay),            (8)
где C10 , C20 - производные по аргументам. Положим в (7) и (8) y = 0 и
учтем (6), тогда получим
                         C1 (x) + C2 (x) = ϕ(x),                   (9)

                                            1
                       C10 (x) − C20 (x) = ψ(x)                   (10)
                                            a
Интегрируя (10) по x, имеем
                                          Z
                                        1 x
                   C1 (x) − C2 (x) =          ψ(α)dα + C .        (11)
                                        a x0
     Складывая и вычитая (9) и (11), получим
                                 Z x
                     1         1
             C1 (x) = ϕ(x) +          ψ(α)dα + C/2 ,              (12)
                     2        2a x0
                                 Z x
                     1         1
             C2 (x) = ϕ(x) −          ψ(α)dα − C/2 .              (13)
                     2        2a x0
    Подставляя (12) и (13) в (7), получаем формулу Даламбера, да-
ющую решение задачи
                                              Z x+ay
                1                           1
      U (x, y) = [ϕ(x + ay) + ϕ(x − ay)] +           ψ(α)dα .
                2                          2a x−ay

                                    29

Страницы