Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

xU
5.3. U
xx
+
2U
xy
− 3U
y
y
+ 2U
x
+ 6U
y
= 0 (см.4.6)
О т в е т: U = e
1
2
(y−3x)
C
1
(y + x)
+ C
2
(y − 3
x).
5.4. U
xx
+ 2U
xy
− 3U
yy
= 2
О т в е т: U = −
1
8
(y − 3x)(y + x)
+ C
1
(x + y)
+ C
2
(y − 3x).
5.5. x
2
U
xx
− 2xyU
xy
+ y
2
U
yy
+ xU
x
+ yU
y
= 0 (см.4.8)
О т в е т: U = C
1
(xy) ln y + C
2
(xy).
5.6. U
xy
+ aU
x
+ bU
y
+ abU = 0, a, b − const.
О т в е т: U = exp{−bx − ay}[C
1
(y) + C
2
(x)].
Д о м а ш н е е з а д а н и е
5.7. x
2
U
xx
− y
2
U
yy
= 0
О т в е т: U = C
1
(xy) +
√
xy
C
2
(
y
x
).
5.8. (x
2
U
x
)
x
= x
2
U
y
y
О т
в е т: U = 1/x[C
1
(x + y) + C
2
(x − y)].
5.9. (x − y)U
xy
− U
x
+ U
y
= 0
У к а з а н и е. Можно сделать замену V = (x − y)U.
О т в е т: U =
1
x−y
[C
1
(x)
+ C
2
(y)]
.
5.10. U
xy
− 2U
x
− 3U
y
+ 6U = 2 exp(x + y).
О т в е т: U = exp{x + y} + exp{3x + 2y}[C
1
(x) + C
2
(y)].
5.11. a
2
U
xx
− 2aU
xy
+ U
yy
=
4a
2
b
2
U
, a,
b − const
О т в е т: U = C
1
(x + ay) exp(
2a
b
y)
+ C
2
(x + ay)
exp(
−2a
b
y)
5.12. U
xy
+
y
U
y
+
x
+ xyU =
0
О т в е т:U = exp{
−(x
2
+y
2
)
2
}[C
1
(x)
+ C
2
(y)]
.
27
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5.3. Uxx + 2Uxy − 3Uyy + 2Ux + 6Uy = 0 (см.4.6).
                  1
О т в е т: U = e 2 (y−3x) C1 (y + x) + C2 (y − 3x).
5.4. Uxx + 2Uxy − 3Uyy = 2 .
О т в е т: U = − 81 (y − 3x)(y + x) + C1 (x + y) + C2 (y − 3x).

5.5. x2 Uxx − 2xyUxy + y 2 Uyy + xUx + yUy = 0 (см.4.8).
О т в е т: U = C1 (xy) ln y + C2 (xy).
5.6. Uxy + aUx + bUy + abU = 0, a, b − const.
О т в е т: U = exp{−bx − ay}[C1 (y) + C2 (x)].

          Д о м а ш н е е                 з а д а н и е

5.7. x2 Uxx − y 2 Uyy = 0 .
                                √
О т в е т: U = C1 (xy) +         xyC2 ( xy ).

5.8. (x2 Ux )x = x2 Uyy .
О т в е т: U = 1/x[C1 (x + y) + C2 (x − y)].
5.9. (x − y)Uxy − Ux + Uy = 0 .
У к а з а н и е. Можно сделать замену V = (x − y)U.
                  1
О т в е т: U =   x−y [C1 (x)    + C2 (y)].

5.10. Uxy − 2Ux − 3Uy + 6U = 2 exp(x + y).
О т в е т: U = exp{x + y} + exp{3x + 2y}[C1 (x) + C2 (y)].
                                     4a2
5.11. a2 Uxx − 2aUxy + Uyy =          b2 U, a, b   − const .

О т в е т: U = C1 (x + ay) exp( 2a                      −2a
                                 b y) + C2 (x + ay) exp( b y) .

5.12. Uxy + xU y + yU x + xyU = 0 .
                            2   2
О т в е т:U = exp{ −(x 2+y ) }[C1 (x) + C2 (y)].




                                     27

Страницы