Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Определение.
4.14. U
xx
− 2
cos xU
xy
− (3 +
sin x)U
yy
− yU
y
= 0
О т в е т:
U
ξη
+[(ξ +η)(U
ξ
+U
η
)]/32 = 0, ξ = y +sin x+2x, η = y +sin x−2x.
4.15. (1 + x
2
)U
xx
+ (1 + y
2
)U
yy
+ xU
x
+ yU
y
= 0
О т в е т:
U
ξξ
+ U
ηη
= 0, ξ = ln(x +
√
1
+ x
2
),
η = ln(y +
p
1
+ y
2
).
4.16. U
xx
− 2
U
xy
+ U
yy
+ αU
x
+ βU
y
+ γU = 0, α, β, γ − const.
О т в е т:
U
ηη
+ (α + β)U
ξ
+ βU
η
+ γU = 0, ξ = x + y, η = y.
4.17. U
xx
+ yU
yy
+ αU
y
= 0, α − const.
О т в е т:
1)U
ξξ
+ U
ηη
+
(2α−1)
η
U
η
=
0,
ξ = x, η = 2
√
y (y
> 0);
2)U
ξ
η
−
(α−1/2)
(ξ−η)
(U
ξ
−U
η
)
= 0
, ξ = x−2
√
−y
, η = x+
2
√
−y (y
< 0).
З А
Н Я Т И Е 5
Тема. НАХОЖДЕНИЕ ОБЩИХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ (МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК)
На занятии рассматривается метод характеристик нахождения
общих решений линейных уравнений 2-го порядка
a(x, y)U
xx
+2b(x, y)U
xy
+c(x, y)U
yy
+a
1
(x, y)U
x
+b
1
(x, y)U
y
+c
1
(x, y)U+
+f(x, y) = 0, (1)
где a, b, c, a
1
, b
1
, c
1
, f - функции от x, y, определенные в области Ω ∈ R
2
,
причем a, b, c ∈ C
2
(Ω).
Функция U(x, y) ∈ C
2
(Ω) и обращающая (1) в тож-
дество называется (классическим) решением уравнения (1).
Решение, из которого может быть получено любое решение урав-
нения (1), называется общим решением уравнения. Общее решение
уравнения (1) зависит от двух произвольных функций. Выбирая со-
ответствующим образом эти функции, можно получить все частные
решения уравнения (1). В некоторых случаях (для уравнений гипер-
болического и параболического типа) после приведения уравнения (1)
к каноническому виду удается найти общее решение канонического
уравнения. Подставив в это решение функции ζ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y),
25
2
.
.
    4.14. Uxx − 2 cos xUxy − (3 + sin2 x)Uyy − yUy = 0 .
    О т в е т:
    Uξη +[(ξ +η)(Uξ +Uη )]/32 = 0, ξ = y +sin x+2x, η = y +sin x−2x.
    4.15. (1 + x2 )Uxx + (1 + y 2 )Uyy + xUx + yUy = 0 .
    О т в е т:                      √                     p
    Uξξ + Uηη = 0, ξ = ln(x + 1 + x2 ), η = ln(y + 1 + y 2 ).
    4.16. Uxx − 2Uxy + Uyy + αUx + βUy + γU = 0, α, β, γ − const.
    О т в е т:
    Uηη + (α + β)Uξ + βUη + γU = 0, ξ = x + y, η = y.
    4.17. Uxx + yUyy + αUy = 0, α − const.
    О т в е т:                                    √
    1)Uξξ + Uηη + (2α−1)η Uη = 0, ξ = x, η = 2 y          (y > 0);
                                                √               √
    2)Uξη − (α−1/2)
               (ξ−η) (U ξ − U η ) = 0, ξ = x − 2  −y, η =  x + 2 −y (y < 0).




                   ЗАНЯТИЕ5
    Тема. НАХОЖДЕНИЕ ОБЩИХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
  В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ (МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК)

    На занятии рассматривается метод характеристик нахождения
общих решений линейных уравнений 2-го порядка
a(x, y)Uxx +2b(x, y)Uxy +c(x, y)Uyy +a1 (x, y)Ux +b1 (x, y)Uy +c1 (x, y)U +
                                     +f (x, y) = 0,                         (1)
где a, b, c, a1 , b1 , c1 , f - функции от x, y, определенные в области Ω ∈ R2 ,
причем a, b, c ∈ C 2 (Ω).
Определение. Функция U (x, y) ∈ C 2 (Ω) и обращающая (1) в тож-
дество называется (классическим) решением уравнения (1).
     Решение, из которого может быть получено любое решение урав-
нения (1), называется общим решением уравнения. Общее решение
уравнения (1) зависит от двух произвольных функций. Выбирая со-
ответствующим образом эти функции, можно получить все частные
решения уравнения (1). В некоторых случаях (для уравнений гипер-
болического и параболического типа) после приведения уравнения (1)
к каноническому виду удается найти общее решение канонического
уравнения. Подставив в это решение функции ζ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y),

                                      25

Страницы