Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

З
а д
а ч и
Определить типы данных уравнений.
4.1. U
xy
+ x
2
U
yy
+ yU
x
= 0, (x, y) ∈ R
2
О т в е т: гиперболический тип.
4.2. (1 + x
2
)U
xx
+ (1 + y
2
)U
yy
+ xU
x
+ yU
y
= 0, (x, y) ∈ R
2
О т в е т: эллиптический тип.
4.3. x
2
U
xx
− y
2
U
yy
+ sinxU
y
= 0, (x, y) ∈ R
2
О т в е т: вырождающееся гиперболическое уравнение с двумя ли-
ниями вырожденияx = 0, y = 0.
4.4. y
2
U
xx
+ 2xyU
xy
+ x
2
U
yy
= 0, (x, y) ∈ R
2
О т в е т: параболический тип.
4.5. yU
xx
+ U
yy
= 0 -уравнение Трикоми, (x, y) ∈Ω - любая об-
ласть, содержащая отрезок оси x.
О т в е т: смешанный тип, y > 0 - область эллиптичности, y <
0
-
область гиперболичности.
Привести к каноническому виду.
4.6.
U
xx
+ 2U
xy
− 3U
yy
+ 2U
x
+ 6U
y
= 0 (6)
Определим тип уравнения. δ = 1 + 3 = 4 > 0, поэтому (6) гипер-
болического типа в R
2
. Составляем уравнение характеристик
dy
2
− 2dxdy − 3dx
2
= 0,
откуда
dy
dx
=
1 ±
√
4
= 1 ± 2 (7)
Интегриру
я (7), получим y −3x = C
1
, y + x = C
2
. Вводим новые
переменные
ξ = y − 3x, η = y + x (8)
На основании (4) и (8) имеем:
23
U
x
= U
ξ
(−3) + U
η
(+1) = −3U
ξ
+ U
η
U
xx
= (U
x
)
x
= −3(U
ξξ
ξ
x
+ U
ξη
η
x
) + U
ηξ
ξ
x
+ U
ηη
η
x
= 9U
ξξ
− 6U
ξη
+ U
ηη
U
y
= U
ξ
(+1) + U
η
(+1) = U
ξ
+ U
η
U
yy
= (U
y
)
y
= U
ξξ
ξ
y
+ U
ξη
η
y
+ U
ηξ
ξ
y
+ U
ηη
η
y
= U
ξξ
+ 2U
ξη
+ U
ηη
U
xy
= (U
y
)
x
= U
ξξ
ξ
x
U
ξη
η
x
+ U
ηξ
ξ
x
+ U
ηη
η
x
= −3U
ξξ
− 2U
ξη
+ U
ηη
(9)
Подставляя (9) в (6), получим U
ξξ
(9 −3 −6) + U
ξη
(−6 −6 −4) +
U
ηη
(1 − 3 + 2) + +U
ξ
(6 − 6) + U
η
(2 + 6) = 0, откуда U
ξη
−
1
2
U
η
=
0.
+
.
.
.
.
.
.
,
,
,
,
.
                             З а д а ч и

     Определить типы данных уравнений.
     4.1. Uxy + x2 Uyy + yUx = 0, (x, y) ∈ R2.
     О т в е т: гиперболический тип.
     4.2. (1 + x2 )Uxx + (1 + y 2 )Uyy + xUx + yUy = 0, (x, y) ∈ R2
     О т в е т: эллиптический тип.
     4.3. x2 Uxx − y 2 Uyy + sinxUy = 0, (x, y) ∈ R2.
     О т в е т: вырождающееся гиперболическое уравнение с двумя ли-
ниями вырожденияx = 0, y = 0.
     4.4. y 2 Uxx + 2xyUxy + x2 Uyy = 0, (x, y) ∈ R2.
     О т в е т: параболический тип.
     4.5. yUxx + Uyy = 0 -уравнение Трикоми, (x, y) ∈ Ω - любая об-
ласть, содержащая отрезок оси x.
     О т в е т: смешанный тип, y > 0 - область эллиптичности, y < 0 -
область гиперболичности.
     Привести к каноническому виду.
     4.6.
                   Uxx + 2Uxy − 3Uyy + 2Ux + 6Uy = 0 .              (6)
     Определим тип уравнения. δ = 1 + 3 = 4 > 0, поэтому (6) гипер-
болического типа в R2 . Составляем уравнение характеристик
                        dy 2 − 2dxdy − 3dx2 = 0,
откуда
                       dy       √
                          = 1± 4 = 1±2.                           (7)
                       dx
     Интегрируя (7), получим y − 3x = C1 , y + x = C2 . Вводим новые
переменные

                          ξ = y − 3x, η = y + x .                        (8)
На основании (4) и (8) имеем:
Ux = Uξ (−3) + Uη (+1) = −3Uξ + Uη ,
Uxx = (Ux )x = − 3(Uξξ ξx + Uξη ηx ) + Uηξ ξx + Uηη ηx = 9Uξξ − 6Uξη + Uηη ,
U y = U ξ(+1) + U η(+1) = U ξ + U η ,
Uyy = ( Uy )y = Uξξ ξy + Uξη ηy + Uηξ ξy + Uηη ηy = Uξξ + 2Uξη + Uηη , (9)
Uxy = (Uy )x = Uξξ ξx +Uξη ηx + Uηξ ξ x + Uηη ηx = −3Uξξ − 2Uξη + Uηη .
Подставляя (9) в (6), получим Uξξ (9 − 3 − 6) + Uξη (−6 − 6 − 4) +
Uηη (1 − 3 + 2) + +Uξ (6 − 6) + Uη (2 + 6) = 0, откуда Uξη − 21 Uη = 0.




                                   23

Страницы