Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

З
А Н
Я Т И Е 4
Тема. КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ
К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
В СЛУЧАЕ 2 НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Общее квазилинейное (линейное относительно старших произ-
водных) уравнение 2-го порядка в случае 2 независимых переменных
можно записать в виде
a(x, y)U
xx
+ 2b(x, y)U
xy
+ c(x, y)U
yy
+ f(x, y, U, U
x
, U
y
) = 0, (1)
где a, b, c ∈ C
2
(Ω) и не обращаются одновременно в нуль в Ω. При
этом мы ввели обозначения x
1
= x, x
2
= y, y
1
= ξ, y
2
= η, a
11
= a,
a
12
= a
21
= b, a
22
= c. На лекции доказано, что классификацию урав-
нения (1) и приведение его к каноническому виду возможно в этом
случае проводить не только в точке, но и в области. Для классифика-
ции уравнения (1) вводят дискриминант δ(x, y) = b
2
−ac. Тогда имеет
место
Определение.
Если 1)
δ >
0 в Ω
, то (1) назы
гиперболического типа в
Ω
,
2) δ ≡ 0 в Ω ,
то (1)
типа
в
Ω, 3) δ < 0 в Ω, то эллиптического типа в
Ω
Предположим теперь, что δ в области Ω обращается в нуль, не
будучи там тождественно равным нулю. Тогда линия γ, вдоль ко-
торой δ = 0, называется линией параболического вырождения урав-
нения (1).
1) Пусть δ сохраняет знак во всей области Ω за исключением ли-
нии γ, тогда уравнение называется вырождающимся гиперболическим
(эллиптическим) уравнением, если δ > 0 (δ < 0) в Ω \ γ.
2) Пусть Ω делится линией γ на две части Ω
1
и Ω
2
, причем δ > 0
в Ω
1
, δ < 0 в Ω
2
, тогда (1) – уравнение смешанного типа в Ω, причем
Ω
1
- область гиперболичности, Ω
2
- область эллиптичности.
В области, в которой сохраняется знак δ, (1) можно привести
к каноническому виду. Приведение к каноническому виду проводится
путем замены независимых переменных. Для отыскания этой замены
составляется дифференциальное уравнение характеристик
ady
2
− 2bdxdy + cdx
2
= 0, (2)
разрешая которое относительно
dy
dx
,
получим
dy
dx
=
b ±
√
b
2
− ac
a
,
отку
да следу
ет, что дальнейшее исследование зависит от типа уравне-
ния (1).
21
вается уравнением
параболического
.
                       ЗАНЯТИЕ4
           Тема. КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ
                  К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
         В СЛУЧАЕ 2 НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
     Общее квазилинейное (линейное относительно старших произ-
водных) уравнение 2-го порядка в случае 2 независимых переменных
можно записать в виде
    a(x, y)Uxx + 2b(x, y)Uxy + c(x, y)Uyy + f (x, y, U, Ux , Uy ) = 0,   (1)
где a, b, c ∈ C 2 (Ω) и не обращаются одновременно в нуль в Ω. При
этом мы ввели обозначения x1 = x, x2 = y, y1 = ξ, y2 = η, a11 = a,
a12 = a21 = b, a22 = c. На лекции доказано, что классификацию урав-
нения (1) и приведение его к каноническому виду возможно в этом
случае проводить не только в точке, но и в области. Для классифика-
ции уравнения (1) вводят дискриминант δ(x, y) = b2 − ac. Тогда имеет
место
Определение. Если 1) δ > 0 в Ω , то (1) называется уравнением
гиперболического
           ,     типа в Ω 2) δ ≡ 0 в Ω , то (1) параболического
типа в Ω, 3) δ < 0 в Ω, то эллиптического типа в Ω .
   Предположим теперь, что δ в области Ω обращается в нуль, не
будучи там тождественно равным нулю. Тогда линия γ, вдоль ко-
торой δ = 0, называется линией параболического вырождения урав-
нения (1).
       1) Пусть δ сохраняет знак во всей области Ω за исключением ли-
нии γ, тогда уравнение называется вырождающимся гиперболическим
(эллиптическим) уравнением, если δ > 0 (δ < 0) в Ω \ γ.
       2) Пусть Ω делится линией γ на две части Ω1 и Ω2 , причем δ > 0
в Ω1 , δ < 0 в Ω2 , тогда (1) – уравнение смешанного типа в Ω, причем
Ω1 - область гиперболичности, Ω2 - область эллиптичности.
       В области, в которой сохраняется знак δ, (1) можно привести
к каноническому виду. Приведение к каноническому виду проводится
путем замены независимых переменных. Для отыскания этой замены
составляется дифференциальное уравнение характеристик
                        ady 2 − 2bdxdy + cdx2 = 0,                       (2)
                                    dy
разрешая которое относительно        получим
                                    dx ,
                                    √
                            dy   b ± b2 − ac
                               =             ,
                            dx        a
откуда следует, что дальнейшее исследование зависит от типа уравне-
ния (1).


                                      21

Страницы