Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Ã
1
0 0
0 −
1 0
0 0 1
!
,
Откуда следует, что n
+
= 2, n
−
= 1, то есть уравнение (13) ги-
перболического типа также в смысле определения 1.
Отметим также, что в силу вышесказанного по каноническому
виду квадратичной формы можно выписать группу слагаемых, содер-
жащих вторые производные .
3.4.
U
xx
+ U
xy
+ U
zz
= 0, (x = x
1
, y = x
2
, z = x
3
).
Здесь P = p
2
1
+p
1
p
2
+p
2
3
= (p
1
+p
2
/2)
2
−p
2
2
/4+p
2
3
, Q = q
2
1
−q
2
2
+q
2
3
,
где
(
q
1
= p
1
+ p
2
/2
q
2
= p
2
/2
q
3
= p
3
,
откуда
(
p
1
= q
1
− q
2
p
2
= 2q
2
p
3
= q
3
.
B =
Ã
1 −1 0
0 2 0
0 0 1
!
, B
T
=
Ã
1 0 0
−1 2 0
0 0 1
!
,
Ã
ξ
η
ζ
!
= B
T
Ã
x
y
z
!
,
(
ξ = x
η = −x + 2y
ζ = z
Учитывая отсутствие в исходном уравнении первых производ-
ных, по виду квадратичной формы записываем канонический вид ис-
ходного уравнения:
U
ξξ
− U
ηη
+ U
ζζ
= 0.
Откуда следует, что исходное уравнение имеет гиперболический тип в
R
3
.
3.5.
U
xx
+ 2U
xy
− 2U
xz
+ 2U
yy
+ 6U
zz
= 0.
О т в е т:
U
ξξ
+ U
ηη
+ U
ζζ
= 0, эллиптический тип; ξ = x, η = y − x,
ζ = x − y/2 + z/2.
19
3.6.
U
xy
− U
xz
+ U
x
+ U
y
− U
z
=
0.
О
т в е т:
U
ξξ
− U
ηη
+ 2U
ξ
= 0, тип (1,1,1); ξ = x + y, η = y − x, ζ = y + z.
                              Ã            !
                                  1 0 0
                                  0 −1 0       ,
                                  0 0 1
     Откуда следует, что n+ = 2, n− = 1, то есть уравнение (13) ги-
перболического типа также в смысле определения 1.
     Отметим также, что в силу вышесказанного по каноническому
виду квадратичной формы можно выписать группу слагаемых, содер-
жащих вторые производные .
     3.4.
           Uxx + Uxy + Uzz = 0,          (x = x1 , y = x2 , z = x3 ).
     Здесь P = p1 +p1 p2 +p3 = (p1 +p2 /2)2 −p22 /4+p23 , Q = q12 −q22 +q32 ,
                2           2

где
                           (
                              q1 = p1 + p2 /2
                              q2 = p2 /2
                              q 3 = p3 ,
откуда                      (
                                p1 = q1 − q2
                                p2 = 2q2
                                p3 = q3 .
                Ã             !                Ã              !
                   1 −1 0                           1 0 0
            B= 0 2 0 ,                   B T = −1 2 0 ,
                   0 0 1                            0 0 1
             Ã !            Ã !             (
                ξ               x                  ξ=x
                          T
                η =B            y ,           η = −x + 2y
                ζ               z                  ζ=z
     Учитывая отсутствие в исходном уравнении первых производ-
ных, по виду квадратичной формы записываем канонический вид ис-
ходного уравнения:

                           Uξξ − Uηη + Uζζ = 0.
Откуда следует, что исходное уравнение имеет гиперболический тип в
R3 .
     3.5.
                 Uxx + 2Uxy − 2Uxz + 2Uyy + 6Uzz = 0.
     О т в е т:
     Uξξ + Uηη + Uζζ = 0, эллиптический тип; ξ = x, η = y − x,
ζ = x − y/2 + z/2.
      3.6.
                    Uxy − Uxz + Ux + Uy − Uz = 0.
      О т в е т:
      Uξξ − Uηη + 2Uξ = 0, тип (1,1,1); ξ = x + y, η = y − x, ζ = y + z.


                                     19

Страницы